Дифференциальные уравнения в механике

Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

Уравнение второго закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде

Спроецировав уравнение (1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений

В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых или в естественных координатах.

t + C. m Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике m Для удобства записи положим Сг == In С: In 1/ = — ^-t —
C т потенцируя, имеем v=Ce т . (4) Это — общее решение задачи. Так как в начальный момент / = 0 скорость равнялась v0, то, подставляя t = 0 и v = v0 в уравнение (4), найдем значение С: -Л. v0 = Ce C=v0; следовательно, уравнение (4) примет вид v = vQe т . (5) Это — частное решение. Однако задача еще не решена, так как зависимость х от / не найдена. В силу того, что уравнение (5) можно переписать в виде (в) Это тоже дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяем переменные: dx = v0e т dt. (7) Интегрируем отдельно левую и правую части и, приравнивая результаты, получаем Х=—Щ£>е +Ct. (8) Так как в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то, подставляя в (8) значения / — 0 и дг = О, имеем 0 = —+ Отсюда = При этом значении Сх из общего решения (8) получаем частное * —(9) или Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике * > Это и есть решение задачи. Приведем конкретный пример, сводящийся к предыдущей задаче. Пример 2. Моторная лодка, вес которой 245 кГ, идет прямолинейно и равномерно со скоростью 10 м/сек. В некоторый момент, который будем считать начальным, двигатель выключается и движение лодки замедляется за счет трения о воду. Через одну секунду после выключения двигателя лодка имела скорость 8 Mjce/c. Нужно найти скорость лодки через 5 сек и расстояние, пройденное за это время. Примечание. Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости и направлена против движения. Коэффициент пропорциональности находится из опыта. Применяя обозначения предыдущей задачи, имеем и0=Ю Mjce/c. Так как вес лодки 245 кГ> то ее масса равна —, а считая, что g-=9,8 Mjce/cполучим 25. Подстав-8 ляя эти данные в равенство (5), находим м v=e (5') Эта формула еще непригодна для вычислений, так как в ней k неизвестно. Но мы еще не использовали то, что через 1 сек скорость лодки была 8 мсек. Подставив эти данные, полученные из наблюдений, в равенство (5'), мы сможем найти k. Сделаем это: 8 — 1 откуда е " = 0,8. k Логарифмируя обе части этого выражения, найдем — ^ =* ZD = In 0,8, откуда = — 25 1п0,8. Отсюда можно определить искомую скорость, подставляя t — b сек: г>= 10(0,8)5 = 10 3,3 мсек. Подставляя найденное значение k и данные значения т, v0 и / = 5 в равенство (9), найдем путь, пройденный за пять секунд: Пример 3. Рассмотрим движение точки под влиянием силы F= — kx. Возьмем закон Ньютона в форме (3), тогда т^ =—kx, или х = 0. (10) Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике Это дифференциальное уравнение второго порядка. Проверим что выражение является его общим решением. Для этого найдем Подставляя вторую производную и саму функцию в уравнение, получим Таким образом, функция (11), подставленная в уравнение (10), обращает его в тождество. Значит, функция (11) является решением уравнения (10). Поскольку эта функция содержит две произвольные постоянные С, и Сг (ведь это любые числа), то она является общим решением уравнения (Ю). Общее решение можно записать и в другом виде, а именно: cos Положим С» Коэффициент А называется амплитудой, —часто- той, ф—фазой. Вспомнив гл. IV, § I, видим, что любым решением уравнения (10) является синусоида, т. е. колебательное движение. Уравнение (10) называется уравнением гармонических колебаний.

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

моделирование математический уравнение дифференциальный

Примером математического моделирования в науке являются дифференциальные уравнения, составленные для расчета конкретных параметров. Сама история развития дифференциальных уравнений идет в ногу с развитием естествознания. Развитие механики стало возможным благодаря появлению математического анализа в работах Ньютона и Лейбница. Сейчас дифференциальные уравнения — это одно из основных орудий познания в физике и в науках о природе вообще. Например, уравнение, характеризующее рост денег на вкладе под проценты, это линейное дифференциальное уравнение.

Читайте также:  Беспроводная зарядка для самсунга

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти некую функциональную зависимость, зная которую, в свою очередь, можно охарактеризовать протекание любого процесса.

Например, упоминавшаяся визуализация воздушного потока рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса:

— однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.

Приведем примеры наиболее известных дифференциальных уравнений физики.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения, где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. О значении этого фундаментального закона можно говорить и писать бесконечно.

Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

теплопроводность в цилиндрических объектах;

формы колебания тонкой круглой мембраны

распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y:

Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:

Колебания струны стали прообразом многих научных идей, как колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме(электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера. Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

Классическим примером является закон радиоактивного распада — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награжден Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивное превращение». Существует несколько формулировок закона, в виде дифференциального уравнения:

которое означает, что число распадов ?dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.

В указанном выше математическом выражении — постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с?1. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.

Читайте также:  Где найти сетевой пароль windows 7

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

где — начальное число атомов, то есть число атомов для

Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени , также падает экспоненциально. Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:

где — скорость распада в начальный момент времени

Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной .

Еще одним классическим примером является осциллятор ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению

— координата точки, зависящая от времени ;

— некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний. Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем во время его работы в компании Philips. Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными, известные как«предельные циклы» В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили, что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса. Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии.

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при и при . Очевидно, что третьего режима — — не существует, так как трение в системе не может быть отрицательным.

Когда , то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду

Это уравнение гармонического осциллятора. При система имеет некие предельные циклы. Чем дальше от нуля, тем хаотичнее ведёт себя система. Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

— амплитуда внешнего гармонического сигнала,

— его угловая частота.

Уравнения Эйлера — Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента. Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты и . Тогда длина пути , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

откуда получаем, что

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что , , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Уравнения Гамильтона (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, — время, — (обобщенные) координаты , и — обобщенные импульсы , определяющие состояние системы (точку фазового пространства). Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики. Функция Гамильтона, по сути, представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) через волновой вектор для каждой точки пространства:

В классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от ) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых () интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие () вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определенного типа. Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

Читайте также:  Гонки с интересным сюжетом

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторныхфункций ():

Электрический заряд является источником электрической индукции.

Не существует магнитных зарядов.[

Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Где — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/мі);

— плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/мІ); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с ); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

— напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

— напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

— электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/мІ);

— магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/мІ = кг*с?2*А?1);

— дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Уравнение Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году. В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной). Уравнение обычно записывается так:

— плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D(?, r) — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности ? в точке r; ? оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов, то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе не наблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Уравнение теплопроводности — важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной области пространства во времени. Для функции u(x,y,z,t) трёх пространственных переменных (x,y,z) и времени t, уравнение теплопроводности имеет вид