Доказать что четырехугольник с вершинами параллелограмма

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

ABCD — параллелограмм, если

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

Например, это могут быть пары треугольников

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

Ответ

1 п. Если противоположные стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Нам надо, чтобы векторAB=векторDC и векторAD=векторBC

Читайте также:  Икс бокс 360 подключение к телевизору

Координаты равны => длины векторов также будут равны

Координаты равны => длины векторов также будут равны

Из 1 п., 2. п. и 3 п. следует, что ABCD — параллелограмм

ДОКАЖИТЕ ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ВЕРШИНАМИ В ТОЧКАХ A (-5;-6) B ( −2;3) C (10;9) D (7 0) ЯВЛЯЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ И ОПРЕДЕЛИТЕ ДЛИНУ ЕГО СТОРОН

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Oxpet 07.03.2017

Ответ

Как известно, у параллелограмма противоположные стороны равны. Поэтому, мы можем попробовать составить два вектора — AB и CD
если они параллельны друг другу, то будет выполняться условие AB=CD*n
где n-некое число

Как видно, AB=CD*-1, поэтому вектора AB и CD параллельны

Проверим это же условие для сторон AD и BC
AD=(7− (-5);0− (-6))=(12;6)
BC=(10− (-2);9−3)=(12;6)

Как видно, вектора AD и BC параллельны

Есть еще одно условие: если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам, то четырехугольник — параллелограмм.

Для этого найдем координаты середин отрезков AC и BD

Как видно, обе диагонали имеют середины в одной и той же точке

Учитывая все доказательства выше, можно говорить, что ABCD — параллелограмм

Длины всех сторон можем найти, посчитав длины векторов выше

Оцените статью
Adblock detector