Доказать что сумма биномиальных коэффициентов

Бином Ньютона — формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) · ( n — 2 ) · . . . · ( n — ( k — 1 ) ) ( k ) ! — биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а " ! " является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n — k · b k — ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
C 0 0
1 C 1 0 C 1 1
2 C 2 0 C 2 1 C 2 2
3 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3
n C n 0 C n 1 C n n — 1 C n n

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
n C n 0 C n 1 C n n — 1 C n n

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим — шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n — p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
  • C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n — 1 · b + C n 2 + a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 + a · b n — 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
    a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
  2. Если неравенство верно при n — 1 , тогда выражение вида a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1
  1. Доказательство равенства a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n — 1 = = ( a + b ) C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 · a n — 1 · b + C n — 1 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a 2 · b n — 2 + + C n — 1 n — 1 · a · b n — 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + C n — 1 2 · a n — 3 · b 3 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Имеем, что C n — 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n — 1 0 = C n 0 . Если C n — 1 n — 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n — 1 n — 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n — 1 1 + C n — 1 0 = C n 1 C n — 1 2 + C n — 1 1 = C n 2 ⋮ C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 = C n n — 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 = C n — 1 n — 1 · b n

Читайте также:  Драйвер для клавиатуры intro

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n .

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Разложить выражение ( a + b ) 5 , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты — это 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 . То есть, получаем, что a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5 является искомым разложением.

Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a + b 10 .

Решение

По условию имеем, что n = 10 , k = 6 — 1 = 5 . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

C n k = C 10 5 = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · 10 — 5 ! = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · ( 5 ) ! = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 ( 5 ) ! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 252

Ответ: C n k = C 10 5 = 252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Доказать, что значение выражения 5 n + 28 · n — 1 , при n , являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5 n + 28 · n — 1 = 4 + 1 n + 28 · n — 1 = = C n 0 · 4 n + C n 1 · 4 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 4 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + n · 4 + 1 + 28 · n — 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 4 2 + 32 · n = = 16 · ( 4 n — 2 + C n 1 · 4 n — 3 + . . . + C n n — 2 + 2 · n )

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16 .

Учитывая положительное целое число n , задача состоит в том, чтобы найти сумму коэффициента binomail, т.е.

Примеры:

Рекомендуется: Пожалуйста, сначала попробуйте подход , прежде чем переходить к решению.

Метод 1 (грубая сила):
Идея состоит в том, чтобы оценить каждый член биномиального коэффициента, т.е. n C r , где 0 filter_none

ссылка на сайт
brightness_4
код

Джава

ссылка на сайт
brightness_4
код

python3

ссылка на сайт
brightness_4
код

ссылка на сайт
brightness_4
код

ссылка на сайт
brightness_4
код

Способ 2 (с использованием формулы):

Это можно доказать двумя способами.
Первое доказательство: использование принципа индукции.

Для базового шага n = 0
LHS = 0 C = (0!) / (0! * 0!) = 1/1 = 1.
RHS = 2 0 = 1.
LHS = RHS

Для шага индукции:
Пусть k целое число такое, что k> 0, и для всех r, 0 k C + k C 1 + k C 2 + ……. + k C k-1 + k C k = 2 k

Теперь мы должны доказать для n = k + 1,
k + 1 C + k + 1 C 1 + k + 1 C 2 + ……. + k + 1 C k + k + 1 C k + 1 = 2 k + 1

LHS = k + 1 C + k + 1 C 1 + k + 1 C 2 + ……. + k + 1 C k + k + 1 C k + 1
(Используя n C = 0 и n + 1 C r = n C r + n C r-1 )
= 1 + k C + k C 1 + k C 1 + k C 2 + …… + k C k-1 + k C k + 1
= k C + k C + k C 1 + k C 1 + …… + k C k-1 + k C k-1 + k C k + k C k
= 2 X ∑ n C r
= 2 х 2 к
= 2 к + 1
= RHS

Второе доказательство: использование разложения в биномиальную теорему

Биномиальное состояние расширения,
(x + y) n = n C x n y 0 + n C 1 x n-1 y 1 + n C 2 x n-2 y 2 + ……… + n C n-1 x 1 y n-1 + n C n x 0 y n

Положим х = 1, у = 1
(1 + 1) n = n C 1 n 1 0 + n C 1 x n-1 1 1 + n C 2 1 n-2 1 2 + ……… + n C n-1 1 1 1 n-1 + n C n 1 0 1 n

Ниже приведена реализация этого подхода:

.

Как и при доказательстве основного свойства, используем равенство

(1+x) n = .

Умножим обе части этого равенства на (1+х) n :

(1+x) 2 n =

Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона. Рассмотрим коэффициент при х n . Слева он будет равен . В правой части член, содержащий х n , появится n раз: при умножении на , при умножении на и так далее. Используем свойство симметричности биномиальных коэффициентов, получим коэффициент при х n в правой части равенства:

.

Так как слева и справа стоит один и тот же многочлен, то коэффициенты при х n слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому .

Другая, известная как треугольник Паскаля, интерпретация для биномиальных коэффициентов получается, если рассмотреть на бесконечной шашечной доске количество различных путей шашки от данной клетки до всех клеток доски.

Возьмем шахматную доску, ограниченную только с одной стороны, и поставим на поле A (черного цвета) нулевой горизонтали шашку. Двигаясь по правилам игры в шашки, она может попасть на любое поле черного цвета из области, ограниченной прямыми AB и AC. Напишем на каждом поле число способов, которыми можно попасть на данное поле. Получим

Эти числа обычно изображают в виде треугольника, при этом каждое число равно сумме двух элементов предыдущей строки, между которыми оно находится. Этот треугольник часто называют треугольником Паскаля, или арифметическим треугольником.

Читайте также:  Загрузка линукс с флешки без установки

Арифметический треугольник можно записать и в таком виде:

В данном треугольнике в каждой клетке хранится количество способов попасть в эту клетку из клетки (0, 0) , если ходить разрешается только вниз и по диагонали вправо. Каждое число треугольника равно сумме числа, стоящего выше него, и числа, расположенного наискосок влево. На пересечение k-й вертикали и n-й горизонтали можно попасть за n шагов, k из которых будут по диагонали, n — k по вертикали. Поэтому количество способов попасть в клетку с координатами (n, k) равно .

Отметим еще следующие особенности арифметического треугольника: все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, а нулевой столбец состоит из единиц. Числа, стоящие в n-й строке, являются коэффициентами в разложении бинома (1+x) n по степеням x. Поэтому их называют также биномиальными коэффициентами.

Задача. Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (х+у) 5 .

Решение. Пятая строка треугольника Паскаля имеет вид: 1 5 10 10 5 1. Поэтому

(х+у) 5 =1x 0 y 5 +5x 1 y 4 +10x 2 y 3 +10x 3 y 2 +5x 4 y 1 +1x 5 y 0 .

С помощью треугольника Паскаля можно доказать свойства биномиальных коэффициентов. (Смотри упражнения.)

Полиномом называют выражение вида (x1+x2+…xk) n .

Полиномиальной формулой называют формулу для вычисления значения выражений (x1+x2+…xk) n для различного числа слагаемых и различных натуральных степеней n.

Теорема.

=

Доказательство.Формула доказывается аналогично формуле бинома Ньютона.

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей x1, x2,…,xk в том порядке, в котором они появляются. Получим всевозможные размещения с повторениями букв x1, x2,…,xk, состоящие из n элементов. Используем коммутативность и приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество множителей x1, x2,…,xk. Членов, в которые входит k1 множителей х1, k2 множителей х2 и так далее km множителей хm, ровно Р(k1,k2,…km). Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение войдет с коэффициентом . Поэтому формула примет вид: .

Свойства чисел Р(k1k2…k3)

1. .

Доказательство.Если в полиномиальной формуле положить х12=…=хm=1, то получим требуемое равенство.

2. .

Доказательство.Умножим обе части равенства

на (х12+…+хm). Получим

.

Применим к левой части полиномиальную формулу, а в правой части раскроем скобки и рассмотрим коэффициент при . Слева он будет равен . В правой части член, содержащий , появится m раз: при умножении на х1, при умножении на х2 и так далее; коэффициент при будет равен . Слева и справа стоит один и тот же многочлен, следовательно, коэффициенты при слева и справа должны быть равны. Поэтому

.

Задача. Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (x+y+z) 4 , используя полиномиальную формулу.

Решение. Ясно, что коэффициенты при x 2 yz и xy 2 z равны. Поэтому достаточно найти коэффициенты для таких разбиений n=k1+k2+…km, что k1³k2³³km, а потом переставлять показатели всеми возможными способами. Для нашего примера имеем:

(x+y+z) 4 =x 4 +y 4 +z 4 +4x 3 y+4x 3 z+4y 3 x+4y 3 z+4z 3 x+4z 3 y+6x 2 y 2 +6x 2 z 2 ++6y 2 z 2 +12x 2 yz+12xy 2 z+12xyz 2 .

Задача. Найти коэффициенты при х 5 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (2+х 2 -х 3 ) 9 .

Решение. В задаче нас интересует только коэффициент при х 5 , поэтому нет необходимости искать все коэффициенты. Член, содержащий х 5 , появится только один раз как слагаемое вида 2 7 (х 2 ) 1 (-х 3 ) 1 , коэффициент при этом члене согласно полиномиальной формуле будет равен Р(7, 1, 1)=72. Следовательно, коэффициент при х 5 равен (-1) × 2 7 × 72 =-9 216.

Задача. Найти коэффициенты при х 12 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1+х 2 +х 5 ) 8 .

Решение. Данная задача отличается от предыдущей тем, что член, содержащий х 12 , появится два раза: как слагаемое вида 1 2 ∙(х 2 ) 6 (х 5 ) 0 и 1 5 (х 2 ) 1 (х 5 ) 2 . В первом случае коэффициент будет равен Р(2, 6, 0)=28, во втором — Р(5, 1, 2)=168. Следовательно, коэффициент при х 12 равен 28+168=196.

Задача. Сколькими способами можно замостить прямоугольную доску размером 2 × 7 костями домино, если все кости считать одинаковыми и учитывать только положение кости: горизонтальное или вертикальное?

Читайте также:  Деление в столбик больших чисел примеры

Решение. Обозначим через Ф(k) количество способов замостить костями домино прямоугольную доску размером 2 × k. Угловая клетка может быть закрыта одним из двух способов: либо костью, которая лежит вертикально, тогда оставшуюся k-1 кость можно положить Ф(k-1) способами, либо костью, которая лежит горизонтально, тогда еще одну кость можем положить только горизонтально, а оставшиеся k-2 кости можно уложить Ф(k-2) способами. Используя правило суммы, приходим к соотношению Ф(к)=Ф(к-1)+Ф(к-2). Учитывая, что Ф(0)=Ф(1)=1, можем для любого значения k найти ответ: Ф(2)=2, Ф(3)=3, Ф(4)=5, Ф(5)=8, Ф(6)=13, Ф(7)=21. Имеем 21 способ замостить костями домино прямоугольную доску размером 2 × 7.

При решении многих комбинаторных (и не только) задач часто встречается способ, когда задачу с заданными значениями параметров сводят к аналогичной задаче, но уже с меньшими значениями параметров. Таким образом, можно довести задачу до простой. Данный метод решения задач носит название метода рекуррентных соотношений. (От латинского слова recurrere — «возвращаться»).

Пример.Используя метод рекуррентных соотношений, можно по-новому вывести формулу для вычисления числа перестановок из k предметов.

Обозначим за Р(k) количество перестановок из элементов k типов. В перестановке на первом месте может быть любой из k предметов, а оставшиеся k-1 предметов можно в каждом из этих случаев переставить Р(k-1) способами. По правилу произведения получаем формулу Р(k)=k∙Р(k-1). Далее замечаем, что Р(1)=1, и получаем, что Р(k)=k!

Числа Фибоначчи

Формула, которую мы получили при решении задачи о домино, впервые была опубликована в книге «Liber Abaci», появившейся в 1202 году, где итальянский математик Фибоначчи среди многих других задач привел следующую:

Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов?

Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары кроликов. Через два месяца приплод даст только первая пара кроликов, и получится 3 пары. А еще через месяц приплод дадут и исходная пара кроликов, и пара кроликов, появившаяся два месяца тому назад. Поэтому всего будет 5 пар кроликов.

Обозначим через F(n) количество пар кроликов по истечении n месяцев с начала года. Мы видим, что через n+1 месяцев будут эти F(n) пар и еще столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце месяца n-1, то есть еще F(n-1) пар кроликов. Иными словами, имеет место рекуррентное соотношение

Так как, по условию, F(0)=1 и F(1)=2, то последовательно находим

F(2)=3, F(3)=5 F(4)=8 и т. д.

Полученные числа называют числами Фибоначчи.

Чтобы найти F(12), нам придется последовательно вычислить F(3), F(4), … F(11), что достаточно долго. А если нам необходимо было бы вычислить F(100), то это займет еще больше времени. Попробуем выразить закономерность последовательности Фибоначчи с помощью расчетной формулы (вместо неявного рекуррентного соотношения). Для этого присвоим двоичный номер каждой паре кроликов. Единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из пар «предков» данной пары (включая и исходную), а нулями — все остальные месяцы. Например, последовательность 010010100010 устанавливает такую «генеалогию» — сама пара появилась в конце 11-го месяца, ее родители — в конце 7-го месяца, «дед» — в конце 5-го месяца, «прадед» — в конце 2-го месяца. Исходная пара кроликов зашифровывается при этом последовательностью 000000000000. В последовательности не могут идти подряд две единицы, так как кролики приносят приплод только на второй месяц после рождения.

Тем самым устанавливается связь между числами Фибоначчи и следующей комбинаторной задачей: найти число n-последовательностей, состоящих из нулей и единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд. Число таких последовательностей, в которые входит ровно k единиц и n-k нулей, равно . Так как при этом должно выполняться неравенство k

Оцените статью
Adblock detector