Доказать что сумма иррациональных чисел иррациональное число

Ответ

Решение:
Применим формулу разности квадратов:

34 — это не только натуральное число, да еще и рациональное! Ч.т.д.

Определение иррационального числа

Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби $frac$ .

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .

Например. Иррациональными числами являются:

  • $sqrt$ для любого натурального $n$, не являющегося точным квадратом;
  • $e^$ для любого рационального $x
    eq 0$ ;
  • $ln x$ для любого положительного рационального $x
    eq 1$ ;
  • $pi$, а также $pi^$ для любого целого $n
    eq 0$ .

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 ldots$ и $0,0101101110 ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе — последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

$$0,1010010001 ldots+0,0101101110 ldots=0,111111=0,(1)=frac<1><9>$$

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $frac<1><9>$ , которое является рациональным.

Задание. Доказать, что число $sqrt<3>$ является иррациональным.

Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $sqrt<3>$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби $sqrt<3>=frac$ , где $m$ и $n$ — взаимно простые натуральные числа.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Число 3$cdot n^<2>$ делится на 3. Поэтому $m^<2>$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 cdot k$, равенство $3 cdot n^<2>=m^<2>$ можно записать в виде

Читайте также:  Битрикс получить торговые предложения товара

$$3 cdot n^<2>=(3 cdot k)^ <2>Leftrightarrow 3 cdot n^<2>=9 cdot k^ <2>Leftrightarrow n^<2>=3 cdot k^<2>$$

Из последнего равенства следует, что $n^<2>$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $frac$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $frac$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $sqrt<3>$ непредставимо в виде дроби $frac$ и, следовательно, иррационально.

11.13 Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Пусть r — рациональное число, а i — иррациональное, тогда а = r + i — иррациональное число, так как иначе, если а — рациональное число, то i = а — r — рациональное число, но i — иррациональное число.

Оцените статью
Adblock detector