Доказать ограниченность последовательности по определению

Определение. Последовательность n> называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность (xn) называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность n>называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Пример. n> = n — ограничена снизу <1, 2, 3,>.

Определение. Число а называется пределом последовательности n>, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность n> сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim n> = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность n>имеет два предела a и b, не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то последовательность n> ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Читайте также:  Двойной щелчок на значке карандаши в стакане

Монотонные последовательности

Определение:

1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 Пример . n> = 1/n — убывающая и ограниченная

n> = n — возрастающая и неограниченная.

Пример . Доказать, что последовательность n> = монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности n+1> =

Найдем знак разности: n>-n+1> =

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример . Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность n> = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 — 4n 0 существует такое число N, что xN > a — e, где а — некоторая верхняя грань множества.

Т.к. n> — неубывающая последовательность, то при N > n а — e a — e.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8800 — | 7160 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Последовательность , n$ in $ N, называется ограниченной, если существуют числа a и b, при которых для каждого номера последовательности n справедливо неравенство (рис.1):

Например, последовательность вида:

Ограничена, т.к. $0le a_ le 1$

Последовательность $a_n$, n$ in $ N, называется ограниченной сверху, если существует b, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Например, последовательность вида:

Ограничена сверху, т.к. $a_ le 99$

Рисунок 1. Ограничение последовательности

Последовательность $a_n$, n$ in $ N, называется ограниченной снизу, если существует а, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Читайте также:  Из чего состоит видеокарта

Например, последовательность вида:

Ограничена снизу, т.к. $a_ ge −1$

Числовые последовательности могут быть неограниченными или постоянными.

Определить вид последовательности:

Не является ограниченной, т.к. для любых a и b можно найти большее или меньшее значение.

Определить вид последовательности:

Поскольку все члены последовательности равны, числовая последовательность — постоянная.

Определить ограниченность последовательности

Вывод: Функция ограничена и сверху, и снизу, поскольку $a_ ge frac<3> <2>$ и $a_

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Предположим, что последовательность имеет два различных предела b и a, причем b 0" /> таким, чтобы -oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, . Так как число b — предел последовательности , то по заданному 0" title="varepsilon > 0" /> можно найти номер N такой, что для всех . Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что все члены последовательности удовлетворяют условию , т. е.:

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность называется ограниченной, если:

это можно записать и так:

0 :forall nin N
ightarrow left |X_
ight |leq C" title="exists C> 0 :forall nin N
ightarrow left |X_

ight |leq C" />

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Читайте также:  Драйвера для блютуз адаптера asus

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Пусть последовательность имеет предел, равный а. По определению предела для найдем номер N такой, что при всех имеет место неравенство . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

Поэтому при всех выполняется неравенство:

Положим , тогда при всех , т. е. последовательность ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие 0 :forall nin N
ightarrow left |X_
ight |leq C" title="exists C> 0 :forall nin N
ightarrow left |X_

ight |leq C" /> не выполняется, т. е.

0:exists n_ in mathbb: left | X_>
ight | > C" title="forall C> 0:exists n_
in mathbb: left | X_>
ight | > C" />,

то говорят, что последовательность не ограничена.

Пример: Доказать, что последовательность является ограниченной, если , и , для всех .

Так как , то 0" title="left | b
ight |> 0" />. По заданному числу в силу определения предела последовательности найдется номер такой, что:

Используя неравенство для модуля разности

и неравенство , получаем , откуда frac<left | b
ight |><2>" title="left | y_
ight |> frac<left | b
ight |><2>" />. И поэтому для всех справедливо неравенство .

Пусть C = max , для всех выполняется неравенство , т. е. — ограниченная последовательность.