Доказательство теоремы о прямой перпендикулярной к плоскости

Урок 18. Геометрия 10 класс

Конспект урока «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости»

На прошлых занятиях вы познакомились с признаком перпендикулярности прямой к плоскости. Он говорит о том, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Давайте изобразим плоскость α и произвольную точку пространства М. Докажем, что через точку М проходит прямая перпендикулярная к плоскости α, и что такая прямая только одна.

Проведём в плоскости α прямую a, а затем изобразим плоскость β, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой a.

Прямую, по которой пересекаются плоскости α и β, обозначим буквой b.

Далее в плоскости β через точку М проведём прямую c, перпендикулярную к прямой b.

Видим, что прямая c перпендикулярна к прямой b по построению и к прямой a, так как прямая a перпендикулярна плоскости β, а значит, перпендикулярна к любой прямой из этой плоскости, в том числе к прямой c.

Прямые b и a пересекаются и лежат в одной плоскости α. Отсюда делаем вывод, что прямая c перпендикулярна к плоскости альфа.

Так мы доказали, что через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

Осталось доказать, что такая прямая только одна.

Допустим, что есть ещё одна прямая проходящая через точку М, не совпадающая с c, и перпендикулярная к плоскости α. Но мы знаем, что две прямые перпендикулярные к плоскости являются параллельными. Мы получили противоречие, так как прямые c и c1 параллельны и в то же время пересекаются в точке М. Это невозможно.

Отсюда следует, что наше допущение не верно, и не существует второй такой прямой, которая проходит через точку М и перпендикулярна плоскости α.

Что и требовалось доказать.

Итак, теперь вы знаете, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой. И через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

Приступим к решению задач.

Задача. Доказать: а)

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей

перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Что и требовалось доказать.

А сейчас решим задачу обратную данной.

Задача. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой,

то данные плоскости параллельны.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. Вспомогательное утверждение

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Читайте также:  Идеи для рисования на графическом планшете

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b— линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1 пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Задача 1

Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

Проведем прямую с параллельно прямой а. По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.

Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.

Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М — общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.

Задача 2

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Пусть дана прямая а и точка М. Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М, перпендикулярная прямой а. Докажем ее единственность.

Предположим, что существует плоскость γ1, проходящая через точку М, перпендикулярная прямой а. Две плоскости γ и γ1 перпендикулярны одной и той же прямой а, а значит, плоскости γ и γ1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М принадлежит и плоскости γ и γ1. Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10−11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е издание, исправленное и дополненное — М. : Мнемозина, 2008. — 288 с. : ил.

Читайте также:  Драйвера для dying light

2. Геометрия. 10−11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. — М.: Дрофа, 1999. — 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. — 6-е издание, стереотип. — М. : Дрофа, 008. — 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10−11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — 5-е издание, исправленное и дополненное — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил.

Задания 15, 16, 17 стр. 58

2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника

б) двум сторонам трапеции

в) двум диаметрам круга.

3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

4. Прямые а, b, с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна прямым а и b, но не перпендикулярна с. Каково взаимное расположение прямых а и b?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам — сделайте свой вклад в развитие проекта.

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1−11 классов и дошкольников

Лекция по теме «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости»

Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

И обратная теорема . Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.

На экране текст:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Рассмотрим задачу на доказательство.

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства -точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.

В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а . пусть эти прямые пересекаются в точке О.

В плоскости α проведём прямую с , проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а .

По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.

Рассмотрим плоскость γ ( гамма ) , проходящая через прямые с и b .

Плоскость γ( гамма ) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с

На экране текст задачи: Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

На экране чертеж

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт решения.

Проведем α, β: а , М

На экране обновляется чертёж и пункт доказательства 2)

На экране обновляется чертёж и добавляется пункт доказательства 3)

Добавляется пункт доказательства 4)

Добавляется пункт доказательства 5)

Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства — точку А.

Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m . Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m .

3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n . В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n .

Читайте также:  История сокетов intel по годам

5) Прямая т , перпендикулярна плоскости β , значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р .

6) Тогда прямая p перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n , лежащими в плоскости α , следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α .

7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p 1 , перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.

Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.

На экране текст:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

На экране чертеж

Рассмотрим β: βА

К доказательству добавляется пункт 6)

На экране обновляется чертеж и пункт доказательства:

Через вершины А и В прямоугольника АВС D проведены параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА 1 АВ и АА 1 А D . Найдите ВВ 1 , если В 1 D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см.

Решение.1) Так как прямая АА 1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку перпендикулярности прямой к плоскости АА 1 перпендикулярна к плоскости АВС D .

2) Прямая ВВ 1 параллельна прямой АА 1 следовательно по теореме и прямая ВВ 1 перпендикулярна к плоскости АВС D , и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ 1 перпендикулярна к прямой В D . Значит треугольник В 1 В D прямоугольный.

3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.

4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В 1 В D . Квадрат катета В 1 В равен разности квадратов гипотенузы В 1 D и известного катета BD , и катет равен 15 см.

На экране текст задачи. Через вершины А и В прямоугольника АВС D проведены параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА 1 АВ и АА 1 А D . Найдите ВВ 1 , если В 1 D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см

На экране текст и чертёж:

К решению добавляется пункт 2) обновляется чертеж

К решению добавляется пункт 3)

: по теореме Пифагора

К решению добавляется пункт 4) и потом ответ

: по теореме Пифагора

Рассмотрим задачу на доказательство.

Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b ||

Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.

1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b . Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b 1 .

3) Через точку N проведём прямую с 1 .

4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с 1 .

5)Через две пересекающие прямые с 1 и b 1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.

6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с 1 , следовательно прямая а перпендикулярна прямой с 1 .

7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b 1 , следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b 1 . Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.

9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.

10) Прямая b параллельна прямой b 1 , значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.

На экране текст задачи:

Задача 3. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт 4)

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

Оцените статью
Adblock detector