Докажите что прямая bd1 перпендикулярна плоскости acb1

Ответ

Проверено экспертом

Пусть А — начало координат
Ось X -AB
Ось Y -AD
Ось Z- AA1
Координаты интересующих точек
В(1;0;0)
D1(0;1;1)
C(1;1;0)
B1(1;0;1)
C1(1;;1;1)
А1(0;0;1)
Направляющий вектор BD1 (-1;1;1)
Уравнение плоскости АСВ1
аx+by+cz=0 проходит через 0
Подставляем координаты точек
а+b=0
a+c=0
Пусть а= −1 тогда b=1 c=1
Уравнение
-x+y+z=0
Угол между BD1 и плоскостью
sin a = | −1*-1+1*1+1*1|/(√3*√3)= 1
a = 90 что и требовалось доказать

Уравнение плоскости АD1C1
a1x+b1y+c1z=0
b1+c1=0
a1+b1+c1=0
Пусть b1=1 тогда с1=-1 а=0
y-z=0

Уравнение плоскости А1D1C
a2x+b2y+c2z+d=0
c2+d=0
b2+c2+d=0
a2+b2+d=0
Пусть d=1 тогда с2= −1 b2=0 a2= −1
-x-z+1=0

cos b между плоскостями = 1/(√2*√2)=½
Угол b= 60 градусов

УСЛОВИЕ:

Дан куб ABCDA1B1C1D1, докажите, что прямая АС1 перпендикулярна плоскости А1BD скрещиваются

Добавил u21387150224 , просмотры: ☺ 885 ⌚ 21.07.2018. предмет не задан класс не задан класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA

Проекцией АС_(1) на плоскость АВСD является AC
AC ⊥ BD как диагонали квадрата АВСD.

По теореме о трех перпендикулярах
АС_(1) ⊥ BD

Проекцией АС_(1) на плоскость АА_(1)В_(1)В является
АВ_(1).
АВ_(1) ⊥ А_(1)В как диагонали квадрата АА_(1)В_(1)В

По теореме о трех перпендикулярах
АС_(1) ⊥ A_(1)B

Итак AC_(1) перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и A_(1)B плоскости A_(1)BD, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
прямая АС_(1) перпендикулярна плоскости А_(1)BD

Задание 14 Стереометрия
Дан куб ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Решение.
Показать полностью…

1) Докажем, что прямая B1D перпендикулярна прямой A1B
Заметим, что прямая B1D является наклонной к плоскости A1B1B. Проекцией точки D на эту плоскость будет точка A => проекцией всей наклонной на плоскость A1B1B будет прямая AB1.

Читайте также:  Вылетает play market meizu

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой же прямой => B1D ┴ A1B

2) По аналогии B1D ┴ BC1
Таким образом, прямая B1D перпендикулярна двум пересекающимся прямым A1B и BC1, лежащим в плоскости A1BC1 => прямая B1D перпендикулярна и всей плоскости A1BC1.
Пункт а) доказан

3) Для решения пункта б) будем использовать доказанный результат пункта а)
Плоскости AB1C1 и A1B1C пересекаются по прямой B1D
А любая прямая, лежащая в плоскости A1BC1, будет ┴ B1D

Значит нам достаточно построить линии пересечения плоскостей AB1C1 и A1B1C с плоскостью A1BC1, и эти линии будут гарантированно перпендикулярны B1D.

Построим прямую C1M = A1BC1 ∩ AB1C1. Точка M будет лежать на пересечении прямых AB1 и A1B, которые соответственно лежат в каждой из плоскостей. И так, точка M лежит на середине отрезка A1B.

Точно также прямая A1N = A1BC1 ∩ A1B1C и точка N лежит на середине BC1

4) Теперь нам осталось найти угол между отрезками C1M и A1N. Это и будет угол между плоскостями в пункте б)
Из равностороннего треугольника A1BC1 моментально находим, что угол между его медианами равен 60°

Оцените статью
Adblock detector