Дополнить до ортогонального базиса систему векторов

Проверить, что следующая система векторов ортогональна и дополнить ее до ортонормированного базиса: $%x_1=(1, −2,1,3),x_2=(2,1, −3,1)$%

Найдем скалярное произведение данных векторов: $%(x_1,x_2 )= 2−2−3+3 = 0.$% Следовательно, $%x_1,x_2 — $%ортогональны.

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть $%z = (z_1,z_2,z_3,z_4)$% попарно ортогонален с данными векторами, т.е. $%(x_1,z) = 0$% и $%(x_2,z) = 0.$% Получаем следующую систему:

задан 20 Апр '16 1:37

s1mka
1.2k ● 7 ● 40
98&#037 принятых

Что значит как найти? Тут два независимых уравнения и 4 переменных. Это значит, что две неизвестные будут главными, и они будут выражаться через две другие свободные. Какие именно — не так важно (чаще всего z1, z2 выражаем через z3, z4). Это даёт общее решение, оно двумерно. В нём выбирается базис. Самый простой способ его выбора — положить сначала z3=1, z4=0 (и выразить остальное), а потом z3=0, z4=1. Это даст два вектора. Оба будут ортогональны двум предыдущим. Чтобы не было дробных чисел, всегда можно сделать домножения. Потом эти два вектора ортогонализовать процессом Грама — Шмидта.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Если не получается в уме, попробуй применить Грама-Шмидта.
Проверим как-нибудь ортогональность системы предложенных векторов. Проще всего через скалярные произведения, но для разнообразися поступим иначе:

Приведем их к общей норме, составим из их координат матрицу, умножим на транпонированню. Если получится кратная единичной, то наша составленная из координат перенормированных векторов матрица — кратная ортогональной, система наших векторов тоже ортогональная. Это как из Москвы в Тулу через Париж, но, если с учетом наличия транспорта так быстрее, то почему бы и нет.

Читайте также:  Игра подбери ключ к замку

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

при

Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9468 — | 7451 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Оцените статью
Adblock detector