Если последовательность сходится то она ограничена

Экзамен по матану.

Модуль 1: Элементарные функции и пределы.

Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящейся и расходящейся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).

Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nÎN; 3). ; nÎN;
2). ; аn= , nÎN; 4).

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | an — a | 0 мы можем найти такое N, что все точки an с номерами индексов n>N лежат внутри интервала Ue(a) = (a-e,a+e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности.

Теор.Последовательность может иметь не более одного предела.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела: и . Предположим для определённости, что b>a. Возьмём в качестве e любое число, меньшее, чем (b-a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, $N1: n> N1 Þa-e N2 Þ(a+b)/2= b— (b-a)/2 N одновременно должны выполняться неравенства an (a+b)/2, что невозможно.

Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $ . Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1

Определение по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).

(Коши) Пусть а — предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x b при x® а; .

Краткая форма записи: .

Односторонние пределы функции.

Опр. Число b называется пределом функции f(x) при х®а справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a 0 существует такое число d, что если хÎХ удовлетворяет неравенству a-d 0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x) -b |

Обозначения: ; f(+µ).

Опр. Число b называется пределом функции f(x) при х®-µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет неравенству x

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8801 — | 7160 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Читайте также:  Диаграмма ямазуми в excel

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Предположим, что последовательность имеет два различных предела b и a, причем b 0" /> таким, чтобы -oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, . Так как число b — предел последовательности , то по заданному 0" title="varepsilon > 0" /> можно найти номер N такой, что для всех . Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что все члены последовательности удовлетворяют условию , т. е.:

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность называется ограниченной, если:

это можно записать и так:

0 :forall nin N
ightarrow left |X_
ight |leq C" title="exists C> 0 :forall nin N
ightarrow left |X_

ight |leq C" />

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Пусть последовательность имеет предел, равный а. По определению предела для найдем номер N такой, что при всех имеет место неравенство . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

Поэтому при всех выполняется неравенство:

Положим , тогда при всех , т. е. последовательность ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие 0 :forall nin N
ightarrow left |X_
ight |leq C" title="exists C> 0 :forall nin N
ightarrow left |X_

ight |leq C" /> не выполняется, т. е.

0:exists n_ in mathbb: left | X_>
ight | > C" title="forall C> 0:exists n_
in mathbb: left | X_>
ight | > C" />,

то говорят, что последовательность не ограничена.

Пример: Доказать, что последовательность является ограниченной, если , и , для всех .

Так как , то 0" title="left | b
ight |> 0" />. По заданному числу в силу определения предела последовательности найдется номер такой, что:

Используя неравенство для модуля разности

и неравенство , получаем , откуда frac<left | b
ight |><2>" title="left | y_
ight |> frac<left | b
ight |><2>" />. И поэтому для всех справедливо неравенство .

Пусть C = max , для всех выполняется неравенство , т. е. — ограниченная последовательность.

Свойства и теоремы

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.
Доказательство ⇓

Свойство окрестности последовательности, не сходящейся к числу a
Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.
Доказательство ⇓

Теорема единственности предела числовой последовательности
Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство ⇓

Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство ⇓

Свойство последовательности из постоянных элементов
Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, и этот предел равен числу C .
Доказательство ⇓

Влияние конечного числа элементов на сходимость
Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.
Доказательство ⇓

Читайте также:  Девиз для команды военной тематики

Доказательство свойств и теорем

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Доказательство свойства окрестности сходящейся последовательности

Пусть точка a является пределом последовательности . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности. (см. «Эквивалентное определение предела последовательности»).

Тогда первые N элементов последовательности могут находиться где угодно. То есть за пределами окрестность могут находиться не более N элементов последовательности — конечное число или пустое множество.

Первая часть доказана.

Пусть теперь за пределами любой окрестности точки a находится конечное число элементов последовательности или пустое множество. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за пределами окрестности. Тогда все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности. Это означает, что точка a является пределом последовательности.

Доказательство свойства окрестности последовательности, не сходящейся к числу a

Допустим противное. Пусть число a не является пределом последовательности и за пределами любой окрестности точки a находится только конечное число элементов последовательности. Рассмотрим произвольную окрестность точки a . Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за ее пределами. Тогда все элементы с номерами принадлежат окрестности. Но это означает, что число a является пределом последовательности, что противоречит предположению.
Свойство доказано.

Доказательство теоремы единственности предела числовой последовательности

Предположим противное, что у последовательности существует два различных предела:
и . Причем .

Поскольку, по предположению, существует предел , то это означает, что имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . То есть элементы последовательности, при , находятся в интервале
(1.1) .

Точно также, поскольку существует предел , то имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . Тогда при , элементы последовательности находятся в интервале
(1.2) .

Возьмем . То есть ε равно половине длины отрезка ab . При таком выборе, интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Пусть N — наибольшее из чисел и . Тогда для всех , должны выполняться соотношения (1.1) и (1.2). То есть элементы последовательности, при , должны находиться и в интервале (1.1) и в интервале (1.2). Возникает противоречие, поскольку эти интервалы не имеют общих точек.

Мы взяли . Для доказательства можно было взять другие значения и , для которых интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Доказательство теоремы об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел

Пусть последовательность имеет конечный предел a :
.
Это означает, что имеется функция такая, что при , для любого , выполняется неравенство
(2.1) .

Возьмем любое значение ε . Например, . Тогда, в силу (2.1), элементы последовательности с номерами , находятся в пределах интервала
(2.2) .

Элементы последовательности, с номерами , могут находиться за пределами интервала (2.2). Но их конечное число. Поэтому их значения ограничены некоторыми числами и . То есть, при , элементы последовательности ограничены интервалом
(2.3) .
В качестве и можно взять значения наименьшего и наибольшего элемента при .

Итак, при , элементы последовательности ограничены неравенствами (2.3), а при — неравенствами (2.2). Тогда для любого n , выполняются следующие неравенства:
(2.4) ,
где есть наименьшее из чисел и ; — наибольшее из чисел и .

Неравенства (2.4) означают, что последовательность ограничена снизу значением , и сверху — значением , или просто ограничена. Что и требовалось доказать.

Также ограниченность элементов можно записать одним неравенством:
,
где M есть наибольшее из чисел и .

Доказательство свойства последовательности из постоянных элементов

В случае последовательности с равными элементами, какую бы ε — окрестность точки C мы не взяли, все элементы этой последовательности будут находиться в этой окрестности:
.
Действительно, подставив сюда , имеем:
;
,
что выполняется для всех n , поскольку .

Читайте также:  Где надо поставить запятую в предложении

Тогда в качестве функции мы можем взять любую постоянную, не зависящую от ε , например .

Тогда для любого положительного числа существует такое число , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Это и означает, что число C является пределом последовательности .

Доказательство свойства о влиянии конечного числа элементов на сходимость

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Хотя здесь мы рассматриваем только конечные пределы, но доказательство этой теоремы повторяется один в один, если включить в рассмотрение и бесконечные пределы. Поэтому рядом с формулами, применимыми только для конечных пределов, мы будем приводить универсальные формулы, пригодные как для конечных, так и для бесконечных пределов. Их мы будем помечать звездочкой. При первом чтении раздела их можно пропустить.

Пусть мы имеем последовательность , которая имеет конечный предел
.
Это означает, что имеется такая функция , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в ε — окрестности числа a :
(3.1) .
В более общем случае, когда a может быть также одной из бесконечно удаленных точек: или , вместо (3.1) следует записать следующее:
(3.1*) ,
где обозначает ε — окрестность точки a .

Рассмотрим последовательность , которая получается из , добавлением первых m элементов. То есть
(3.2)
и есть произвольные числа при .

Покажем, что . Для этого нам нужно найти такую функцию , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в интервале:
(3.3) ;
(3.3*) .
Подставим в (3.1) и прибавим к обеим частям второго неравенства m :
;
* .
Заменим n + m на k :
;
* .
Эти неравенства совпадают с (3.3), если положить и обозначить индекс k буквой n . Поэтому число a является пределом последовательности .

Теперь рассмотрим последовательность , которая получается из , удалением первых m элементов. То есть
(3.4) .

Покажем, что . То есть нам нужно найти такую функцию , что для любого , элементы последовательности с номерами , находятся в интервале
(3.5) ;
(3.5*) .

Для этого преобразуем неравенства (3.1) ⇑. Заметим, что функция определена не однозначно. Ее всегда можно увеличить на любое натуральное число. То есть вместо (3.1) можно записать так:
(3.1.1) ;
(3.1.1*) .
Действительно, поскольку , то из неравенства следует неравенство .

Подставим в (3.1.1) n = k + m :
;
* .
Подставим (3.4) и преобразуем:
;
* .
Эти неравенства совпадают с (3.5), если положить и обозначить индекс k буквой n . Поэтому число a является пределом последовательности .

Итак, мы доказали, что если число a является пределом последовательности при , то число a также является пределом расширенной последовательности и усеченной последовательности .

Пусть теперь число a не является пределом последовательности . Докажем, что это число также не является пределом последовательности . Допустим противное, что число a является пределом последовательности . Но последовательность получается из последовательности удалением первых элементов. Поэтому, как мы только что доказали, последовательность должна иметь предел a . Возникает противоречие. Поэтому число a не может быть пределом последовательности . Точно так же, если число a не является пределом последовательности , то оно не является и пределом последовательности .

Тем самым мы доказали, что добавление или удаление первых элементов не влияет на сходимость последовательности. Докажем, что изменение первых m элементов также не влияет на сходимость. Для доказательства удалим первые m элементов у исходной последовательности. Получим промежуточную последовательность, сходимость которой такая же, как у исходной. Затем добавим в промежуточную последовательность первые m элементов с произвольными значениями. Получим последовательность, у которой, по отношению к исходной, изменены первые m элементов. Сходимость такой последовательности такая же как и у промежуточной, а поэтому такая же как и у исходной.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29−07−2017 Изменено: 18−02−2019

Оцените статью
Adblock detector