Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

1. Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
2. Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $varepsilon$.

Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $varepsilon$.

Вычислить $intlimits_<0>^<frac<1><2>>e^<-x^2>dx$ с точностью до $varepsilon=10^<-3>$.

Сразу отметим, что интеграл $int e^<-x^2>dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^<-x^2>$ найти не удастся.

Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать «развёрнутый» и «сокращённый» варианты.

Развёрнутый вариант оформления

Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена:

Данное разложение верно при всех $xin$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:

Интегрируем полученное разложение на отрезке $left[0;frac<1><2>
ight]$:

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.

Согласно условию, точность $varepsilon=10^<-3>$. Так как $frac<1><42cdot<2^7>>=frac<1> <5376>of your page -->

Сумма ряда

Чтобы посчитать сумму ряда онлайн выполните следующие действия:

• ввести выражение, для которого нужно вычислить ряд
• указать параметр, по которому будет считать сумма
• указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность)

Разложение в ряд Тейлора (степенной ряд)

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести функцию, которую необходимо разложить
• Ввести точку, в окрестности которой необходимо разложить
• Указать до какого члена раскладывать

Разложение в ряд Фурье

Это он-лайн сервис в два шага:

• Ввести функцию, которую необходимо разложить
• Ввести отрезок, на котором необходимо разложить

Произведение ряда

Чтобы посчитать произведение ряда онлайн выполните следующие действия:

• ввести выражение, для которого нужно вычислить произведение ряда
• указать параметр, по которому считать произведение
• указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность oo)

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе раз­ложения в степенные ряды функций e x , shx, chx, sinx, cosx, (1+x) m , ln(1+x), arctgx.

Для вычисления логарифмов эффективна формула

Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t .

Для вычисления приближенного значения функции f(х) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые п членов (п- -конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного прибли­женного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравни­вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знако­переменного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, исполь­зуется оценка