Исследование последовательности на монотонность

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Zamaraev1997 04.06.2015

Ответ

1) Ограниченность: при n->+∞. Значит, последовательность ограничена.
2) Монотонность:

последовательность монотонно убывает.

Определение: Последовательность <аn> называется ограниченной, если существует положительное число М, такое, что все члены последовательности не превосходят по абсолютной величине число М, то есть В противном случае, последовательность называется неограниченной.

Определение: Последовательность <аn> называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член больше (меньше) предыдущего, то есть

Определение: Последовательность <аn> называется неубывающей (невозрастающей) если

Возрастающую и убывающую последовательность называют строго монотонными. Невозрастающую и неубывающую последовательности называют монотонными.

Теорема: (необходимое условие осуществления предела)

Если последовательность имеет предел, то она ограниченна (без доказательства).

Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

последовательность ограничена, но предела не имеет.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Для начала вспомним, что называют последовательностью и дадим ей определение:

Числовая последовательность — это некоторое множество элементов, каждый член которого изменяется по определённой закономерности, при этом каждому элементу приписывается некоторое число из натурального ряда.

В качестве примера для иллюстрации данной темы можно привести арифметическую прогрессию $a, a + d, a+2d, …,a+(n-1)d,…$,в ней каждому элементу соответствует номер $1, 2, 3. n$, являющийся целым и неотрицательным числом. Другой пример последовательности — геометрическая прогрессия, её элементы представлены ниже: $a, aq, aq^2,…,aq^. $.

Что такое монотонность последовательности

Монотонной называют последовательность, которая на всём своём промежутке всё время увеличивается или уменьшается.

Последовательность называется возрастающей, если соблюдается условие $x_1$ $n$, то $x_$ > $x_n$. Иными словами, подразумевается, что члену с более большим индексом соответствует большее значение, то есть при увеличении индекса элементы монотонно возрастают.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Читайте также:  Загадки про интернет и компьютер

Также существует монотонно неубывающая разновидность, её можно описать неравенством $x_1$ ≤ $x_2$ ≤ $. x_i …$ ≤ $x_n$ ≤ $x_$ ≤ $…$.

Последовательность является монотонно убывающей, если соблюдается условие $x_1 > x_2 >. x_i. > x_n > x_ >…$. Используем альтернативную формулировку: если $n’$ > $n$, то $x_$ Определение 3

Если последовательность монотонно убывает и является ограниченной сверху $x_n$ ≤ $M$, при этом число $M$ является некоторой константой, а $n=1, 2, 3,…$, то эта последовательность обязательно имеет конечный предел.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Аналогичным образом звучит теорема для убывающей разновидности:

Последовательность $x_n$, ограниченная снизу некоторой величиной $m$ и монотонно убывающая, имеет некоторый конечный предел.

Исследовать на монотонность закономерность вида $y_n=frac<4^n>$.

Решение:

Рассмотрим члены последовательности $y_n=frac<4^n>$ и $y_=frac<(n+1)^2><4^>$.

Для того чтобы понять, как она ведёт себя, запишем разность данных элементов:

Так как $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, то $2n+1$ с чем тебе
нужна помощь

Оцените статью
Adblock detector