Исследовать форму поверхности методом сечения

Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению

часто используют так называемый метод сечений. Он состоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например с плоскостями вида z = с, где параметр с пробегает все действительные значения. Для каждого значения с система уравнений

задает соответствующее пересечение. Критерием принадлежности точки M(х; y; z) этому пересечению являются следующие условия: а) z = с; б) координаты x и у ее проекции на координатную плоскость xOy, т.е. координаты точки N(x; у; 0), удовлетворяют уравнению

Зная эти пересечения, т.е. кривые (9.12), можно представить форму поверхности. Отметим, что указанный «рентген» поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой.

Обычно при исследовании формы поверхности методом сечений используют две точки зрения на уравнение (9.12). Первая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость xOy сечения (9.11). Согласно второй точке зрения предполагают, что в секущей плоскости имеется прямоугольная система координат с началом в точке O' пересечения секущей плоскости с осью Oz и осями, O'x и O'у, которые проектируются на соответствующие оси Ox и Oy системы координат Oxyz. Это позволяет говорить о (9.12) как об уравнении сечения (9.11) в секущей плоскости.

Пример 9.1. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида (9.8) x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 2z и исследуем его форму методом сечений.

Пересечение этой поверхности с плоскостью z = с описывается уравнением x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 2c. При с 0 представляет собой эллипс x 2 /(a√(2c)) 2 + y 2 /(b√(2c)) 2 = 1. Оси этого эллипса с ростом параметра с увеличиваются, и можно представить форму поверхности (рис. 9.16, а). Кстати,

слово «эллиптический» в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сечении имеются эллипсы.

Пересечения этоИ же поверхности как с плоскостью x = с (рис. 9.16, б), так и с плоскостью у = с (рис. 9.16, в) представляют собоq параболы c 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 2z и x 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 2z соответственно. Параболы в каждом из этих семеИств сечений имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу P1, находящуюся в плоскости у = 0, и аналогичную параболу Р2 в плоскости x = 0 (рис. 9.17, а). Пусть вторая парабола Р2 перемещается в пространстве так, что:

— вершина параболы Р2 все время находится на параболе Р1;

— ось параболы Р2 параллельна оси параболы Р1;

— плоскость параболы Р2 перпендикулярна плоскости параболы Р1.

Тогда в результате такого перемещения и образуется эллиптический параболоид. При этом роли парабол Р1 и Р2 можно поменять, т. е. перемещать параболу Р1 , используя параболу Р2 как направляющую. #

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2z (9.13)

отличается от уравнения (9.8) эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность второго порядка. Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение (9.13) — каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Читайте также:  Диапазоны ip адресов беларуси

Исследуем вид гиперболического параболоида методом сечений. Его пересечения с плоскостями у = с при любом значении с являются параболами:

x 2 /a 2 — c 2 /b 2 = 2z.

Пересечения с плоскостями x = с тоже при всех значениях с являются параболами:

c 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2z.

Обозначим через Р1 параболу, находящуюся в сечении у = 0, а через Р2 — аналогичную параболу в сечении x = 0. Перемещая, как и выше, параболу Р2 по параболе Р1 (см. рис. 9.17, б), получаем седлообразную поверхность гиперболического параболоида.

Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = c при c ≠ 0 являются гипер-болами

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2c.

а при c = 0 — парой пересекающихся прямых

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 0.

Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболоида — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы.

1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y, z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны соотношениями:

.

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение (7), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида

(8)

В уравнении (8) коэффициенты при x,y’, z’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно ,

,

которая определяет координаты центра исходной поверхности. Следовательно, , , — решение данной системы и точка — центр данной поверхности. Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим

. (9)

Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат O’Y и O’Zна угол a координаты y’, z’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’ и координаты Y, Z в новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:

. (10)

Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:

(11)

Выберем угол a такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y×Z равен нулю:

.

Получим, что , . Чтобы выбрать нужный a, решим характеристическое уравнение для эллипса :

Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k:

Следовательно, cosa = sina = ± .

Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:

,

(12)

— это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и . Т. к. a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.

2)Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:

Решая эту систему, получаем:

(13)

где h - любое вещественное число. Уравнения (13) — это уравнения окружностей с радиусом , уменьшающимся с увеличением ½h½, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:

Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение:

Читайте также:  Горячие клавиши переход в спящий режим

,

т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность:

Изобразим полученные сечен ия:

Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:

Решая эту систему, получаем:

(14)

где h - любое вещественное число. Уравнения (14) — это уравнения эллипсов с полуосями:

уменьшающимися с увеличением ½h½, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.

Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу

Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При получаем уравнение

т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем

т. е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При получаем эллипс:

Изобразим полученные сечения:

Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.

Аналогичная картина получаются при сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.

2. Построение поверхности в канонической системе координат

Проанализировав каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом сечений плоскостями, построим эллипсоид:

Рис. 5. Эллипсоид.

Вывод

Мы научились приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.

Список использованной литературы

1. Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974

2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). — М.: Наука, 1993.

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

(15.22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.

1. Эллипсоид: (рис. 15.1).

2. Конус второго порядка: (рис. 15.2).

3. Гиперболоиды

1) однополостный: (рис. 15.3); 2) двуполостный: (рис. 15.4).

Рис. 15.3 Рис. 15.4

4. Параболоиды

1) эллиптический: (рис. 15.5); 2) гиперболический: (рис.15.6).

Рис. 15.5 Рис. 15.6

5. Цилиндры

1) эллиптический: (рис. 15.7); 2) гиперболический: (рис. 15.8);

Рис. 15.7 Рис. 15.8

3) параболический: (рис. 15.9).

Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:

Читайте также:  Веб хелпер что это

— пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

— точка (0, 0, 0);

— пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

— прямая (ось Oz);

— пара пересекающихся плоскостей;

— пара параллельных плоскостей;

— пустое множество точек;

— плоскость (пара совпадающих плоскостей).

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)

2)

3)

4)

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

или

Имеем уравнение однополостного гиперболоида, центр которого находится в точке (-1, 1, 2). Его ось симметрии — прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (-1, 1, 2).

2) Поскольку

то заданное уравнение равносильно уравнению

или что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида смещенного в точку (-1, 0, 1).

3) Выделяем полные квадраты в выражении, стоящем в левой части уравнения:

Поэтому заданное уравнение принимает вид:

или (после деления на 36)

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, — 1, 2).

4. Методом выделения полных квадратов уравнение приводится к уравнению

т. е.

Почленное деление на 36 дает:

Это уравнение эллиптического цилиндра, смещенного в точку
(-2, 5, 0).

Пример 2. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее:

Решение. Для исследования геометрических свойств и формы поверхности используем метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями где параллельными координатной плоскости Oxy:

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнением

(15.23)

Уравнение (15.23) при не имеет решений относительно Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости При уравнение (15.23) определяет эллипс

с полуосями и вырождающийся в точку (0, 0, 1) при Заметим, что все эллипсы, которые получаются в сечениях поверхности плоскостями подобны между собой, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение формы можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

и

В первом случае имеем кривую т. е. параболу с параметром вершиной в точке и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором — параболу с параметром вершиной в точке и аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 15.10). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Пример 3. Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение. Уравнение задает плоскость. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим:

т. е. плоскость пересекает координатные оси в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

Уравнение задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz. Уравнение определяет координатную плоскость Oxy.

Сделаем рисунок тела (рис. 15.11, 15.12), ограниченного заданными поверхностями.

Оцените статью
Adblock detector