Исследовать на аналитичность функцию

Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Рассмотрим условия дифференцируемости функции

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке функции и дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место условия:

Эти условия называются условиями Д’ Аламбера-Эйлера или Коши-Римана — условия дифференцируемости функции .

Доказательство. Докажем необходимость условий (2.31). Пусть дифференцируемая в точке z; тогда функция имеет в точке z производную. Следовательно, существует

и этот предел не зависит от закона стремления . А при , т.е. точки к точке z по прямой параллельно оси Ох (рис. 2.12), получим:

Если идти по пути прямой, параллельной мнимой оси от ( , х — фиксировано, а ) (рис. 2.12 б), получим:

Так как предел единственный, а функция однозначная, то (2.32) и (2.33) дают:

Достаточность имеет место. Приведем схему доказательства этого. Дано, что и — дифференцируемые, т.е. имеют полные дифференциалы, а значит, имеют место условия дифференцируемости функций двух независимых переменных

где при для имеем:

Подставляя значения и из (2.34) в (2.35) и, заменяя равными им значениями частных производных по переменной х, исходя из условий (2.31), в пределе получим:

Тем самым достаточность условий (2.31) доказана.

Вывод: производную от функции при выполнении условий (2.31) можно находить по одной из формул (2.32) или (2.33), не прибегая к таблице производных.

Например, для по таблице производных .

Проверяем условия (2.31.): — условия дифференцируемости выполнены для любого z. Применяя формулу (2.32), получим:

Если однозначная функция дифференцируема не только в точке, но и в некоторой окрестности ее, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области (регулярной) или голоморфной (т.е. имеющая форму целой функции). Поэтому ТФКП часто называется теорией аналитических функций.

Точки плоскости z, в которых является аналитической — называются правильными точками однозначной функции, а те, в которых f(z) не является аналитической — называется особыми точками (и в частности, в которых не определена). Условия (2.31) являются условиями аналитичности функции в области.

Выяснить, является ли аналитической.

Решение. Решая предыдущий пример мы проверили условия (2.31) и убедились, что они имеют место для любого z плоскости хОу. Следовательно, функция является аналитической (регулярной) во всей плоскости.

Выяснить, является ли регулярной функция .

Решение. , то , отсюда — условия (2.31) не выполняются нигде в плоскости z. Значит, не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условие (2.31) выполнено только для х = 0 и у = 0. Следовательно, дифференцируема только в одной точке и нигде не является аналитической.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условия (2.31) выполняются только в точке х = 0, у = 0, т.е. — единственная точка, где функция дифференцируемая и нигде не является регулярной.

Используя условия (2.31), доказать аналитичность функции на всей плоскости, получить формулу .

Ясно, что эти функции дифференцируемы при всех х и у. Условия (2.31): — выполняются. Следовательно, дифференцируемая в любой точке z, т.е. аналитическая на всей комплексной плоскости. По формуле (2.32):

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100−77−13 с 7.00 до 22.00

В математике , аналитическая функция является функцией , локально задаются сходящимся степенным рядом . Там существуют как вещественные аналитические функции и сложные аналитические функции , категории, которые похожи в некоторых отношениях, но отличается в других. Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы , но свойства комплексных аналитических функции демонстрируют , что не держу вообще для реальных аналитических функций. Функция является аналитической тогда и только тогда , когда ее ряд Тейлора о й сходится к функции в некоторых окрестностях для каждого х в домене .

содержание

Определения

Формально функция является вещественно - аналитическая на открытом множестве в прямой , если для любого можно написать е < Displaystyle е> D < Displaystyle D> Икс 0 ∈ D < Displaystyle X_ <0> в D>

е ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ a N ( Икс — Икс 0 ) N знак равно a 0 + a 1 ( Икс — Икс 0 ) + a 2 ( Икс — Икс 0 ) 2 + a 3 ( Икс — Икс 0 ) 3 + ⋯ < Displaystyle F (X) = сумма _ ^ < infty>A_ влево (х-X_ <0> вправо) ^ = а_ <0>+ а_ <1 >(х-X_ <0>) + а_ <2>(х-X_ <0>) ^ <2>+ а_ <3>(х-X_ <0>) ^ <3>+ cdots>

в котором коэффициенты являются действительными числами и ряд является сходящимся к для в окрестностях . a 0 , a 1 , . < Displaystyle a_ <0>, a_ <1>, точки> е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>

В качестве альтернативы, аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой функцией такой , что ряд Тейлора в любой точке в своей области Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>

T ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ е ( N ) ( Икс 0 ) N ! ( Икс — Икс 0 ) N < Displaystyle Т (х) = сумма _ <п = 0>^ < infty> < гидроразрыва <е ^ <(п)>(X_ <0>)> <п!>> (Х-X_ <0 >) ^ <п>>

сходится к для в окрестности точечно . Множество всех вещественных аналитических функций на заданном множестве часто обозначается . е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>> D < Displaystyle D> С ω ( D ) < Displaystyle С ^ <, Omega>(D)>

Функция , определенная на некотором подмножестве вещественной прямой, называется вещественно — аналитической в точке , если существует окрестность о , на котором реально аналитическим. е < Displaystyle е> Икс < Displaystyle х> D < Displaystyle D> Икс < Displaystyle х> е < Displaystyle е>

Определение комплексной аналитической функции получается путем замены, в определениях выше, «реальный» с «комплексом» и «реальная линия» с «комплексной плоскостью». Функция является сложным аналитическим , если и только если она голоморфна т.е. комплекс дифференцируема. По этой причине термин «-голоморфные» и «аналитические» часто используются как взаимозаменяемые для таких функций.

Примеры

Типичные примеры аналитических функций:

  • Все элементарные функции :
  • Все многочлены : если многочлен имеет степень п , любые условия степени больше , чем п в ее разложения в ряд Тейлора должны немедленно исчезнуть в 0, и поэтому эта серия будет тривиально сходится. Кроме того, каждый многочлен является его собственный ряд Маклорена .
  • Экспоненциальная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для й достаточно близко к й (как в определении) , но и для всех значений х (вещественного или комплексного).
  • В тригонометрические функции , логарифм , и степенные функции являются аналитическими на любом открытом множестве их домена.
  • Большинство специальных функций (по крайней мере , в некотором диапазоне комплексной плоскости):
    • гипергеометрические функции
      • функции Бесселя
      • гамма-функция
      • Типичные примеры функций, которые не являются аналитическими являются:

        • Абсолютное значение функции , когда определено на множестве действительных чисел или комплексных чисел не везде аналитическая , потому что она не дифференцируема в 0. Кусочно определены функции (функции , предоставляемые различными формулами в разных регионах) , как правило , не аналитическая , где штук встретиться.
        • Комплексен сопряженная функция гг * не является сложным аналитическим, хотя его ограничением на реальную линию является функцией идентичности и , следовательно , вещественными аналитической, и это вещественный аналитическим как функция от до . р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>
        • Другие неаналитические гладкие функции .

        Альтернативные характеризации

        Следующие условия эквивалентны:

        1. ƒ является реальным аналитическим.

        2. Существует комплексное аналитическое расширение ƒ на открытое множество GC , который содержит D .

        3. ƒ является реальным гладким и для любого компакта KD существует константа C такой , что для любых хK и каждое неотрицательное целое число K справедлива оценка

        | d К е d Икс К ( Икс ) | ≤ С К + 1 К ! < Displaystyle левая | < гидроразрыва е> <дх ^ <к>>> (х) право | Leq C ^ <к + 1>K!>

        Сложные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфных функций , и, таким образом , гораздо легче охарактеризовать.

        Для случая аналитической функции с несколькими переменными (см ниже), реальная аналитичность можно охарактеризовать с помощью преобразования Фурье-Bros-Iagolnitzer . Третья характеристика имеет также прямое обобщение на многомерный случай.

        Свойства аналитических функций

        • Суммы, продукты и композиция аналитических функций являются аналитическими.
        • Обратной аналитической функции, которая нигде не равна нулю , аналитическая, как это имеет место обратное обратимой аналитической функции которого производная нигде нулю. (Смотрите также теорему обращения Лагранжа .)
        • Любая аналитическая функция гладкая , то есть бесконечно дифференцируемы. Обратное не верно для действительных функций; на самом деле, в некотором смысле, реальные аналитические функции немногочисленны по сравнению со всеми реальной бесконечно дифференцируемых функций. Для комплексных чисел, обратное не имеет места, а на самом деле любая функция дифференцируема один раз на открытом множестве аналитична на этом множестве (см «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
        • Для любого открытого множества Ω ⊆ C , множество (Ω) всех аналитических функций у : Ω → C является пространством Фреше относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт , что равномерные пределы на компактных множествах аналитических функций , аналитические является простым следствием теоремы Мореров . Множество всех ограниченных аналитических функций с нормой супремума является банахово пространство . A ∞ ( Ω ) < Displaystyle scriptstyle A _ < infty>( Omega)>

        Полином не может быть равен нулю при слишком много точек , если она не является нулевой многочлен (точнее, число нулей в большинстве степень многочлена). Аналогичное , но более слабое утверждение справедливо и для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции ƒ имеет точку сгущения внутри своей области , то ƒ равна нулю всюду на компоненте связности , содержащей точку. Другими словами, если ( г п ) представляет собой последовательность различных чисел таким образом, что ƒ ( г п ) = 0 для всех п , и эта последовательность сходится к точке г в области D , то ƒ тождественно нулю на компоненте связности из D , содержащий г . Это известно как принцип постоянства .

        Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, то функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

        Из этих утверждений следуют , что в то время как аналитические функции имеют больше степеней свободы , чем полиномы, они все еще довольно жесткие.

        Аналитичность и дифференцируемость

        Как было отмечено выше, любая аналитическая функция (вещественная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известный как гладкие или C ∞ ). (Обратите внимание , что эта дифференцируемость в смысле действительных переменных, сравнить сложные производные ниже) . Там существует гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими: см неаналитический гладкой функции . На самом деле есть много таких функций.

        Ситуация совершенно иная , если учесть сложные аналитические функции и сложные производные. Можно доказать , что любая сложная функция дифференцируема (в комплексном смысле) в открытом множестве является аналитической . Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции .

        Real против комплексных аналитических функций

        Действительные и комплексные аналитические функции имеют существенные различия (можно заметить, что даже от их различных отношений с дифференцируемостью). Аналитичность сложных функций является более ограничительным свойством, поскольку оно имеет более жесткие необходимые условия и сложные аналитические функции имеют больше структуры, чем их реальные аналоги линии.

        Согласно теореме Лиувилля , любая ограниченная комплексная аналитическая функция , определенная на всей комплексной плоскости постоянна. Соответствующее заявление для вещественных аналитических функций, с комплексной плоскости заменены на вещественной прямой, очевидно , ложно; это иллюстрируется

        е ( Икс ) знак равно 1 Икс 2 + 1 , < Displaystyle F (X) = < гидроразрыва <1> <х ^ <2>+1>>.>

        Кроме того , если комплексная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точки х , ее разложение в степенной ряд по х сходится во всем открытом шаре ( голоморфные функции являются аналитическими ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (с открытым шаром означает открытый интервал вещественной прямой , а не открытый диск комплексной плоскости) не соответствует действительности в целом; функции приведенного выше пример дает пример для й = 0 и шара радиуса , превышающего 1, так как степенной ряд 1 — х 2 + х 4 — х 6 . расходится при | х | > 1.

        Любая реальная аналитическая функция на некотором открытом множестве на прямом может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако, не всякая вещественная аналитическая функция , определенная на всей числовой прямой может быть расширена до комплексной функции , определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ ( х ) , определенная в приведенном выше пункте контрпример, так как она не определена для й = ± я . Это объясняет , почему ряд Тейлора ƒ ( х ) расходится при | х | > 1, то есть радиус сходимости равен 1 , так как комплексифицированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и без каких — либо дальнейших полюсов в пределах открытого диска радиуса 1 вокруг точки оценки.

        Аналитические функции нескольких переменных

        Можно определить аналитические функции нескольких переменных при помощи степенных рядов в этих переменных (см степенного ряда ). Аналитические функции нескольких переменных имеют некоторые из тех же свойств , как аналитические функции одной переменных. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новых и интересных явлений проявляются при работе в 2 -х или более измерений:

        • Нулевые множества комплексных аналитических функций в более чем одной переменной никогда не дискретно в связи с теоремой Гартогса о продолжении .
        • Домены голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных открытых множеств. Однако, в нескольких комплексных переменных характеристика областей голоморфности. — приводит к понятию псевдовыпуклости .

        Введите график функции

        Построим (исследуем) график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x)

        Важно: a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться. Cледите за масштабом — если графика на рисунке нету, значит стоит поварьировать значения a и b

        Примеры

        С применением степени
        (квадрат и куб) и дроби

        С применением синуса и косинуса

        Гиберболические синус и косинус

        Гиберболические тангенс и котангенс

        Гиберболические арксинус и арккосинус

        Гиберболические арктангенс и арккотангенс

        Исследование графика функции

        Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

        Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

        Что умеет находить этот калькулятор:

        • Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
        • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
        • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
        • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
        • Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
        • Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
        • Наклонные асимптоты графика функции: Да
        • Четность и нечетность функции: Да

        Правила ввода выражений и функций

        © Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

        Математический анализ → Комплексный анализ
        сложный анализ
        Сложные числа
        • Настоящий номер
        • Воображаемый номер
        • Комплексная плоскость
        • Комплексно сопряжённое
        • Unit комплексное число
        Сложные функции
        • Комплексная функция
        • Аналитическая функция
        • Голоморфная функция
        • уравнения Коши-Римана
        • Формальный степенной ряд
        Основы теории
        • Нули и полюсы
        • Интегральная теорема Коши
        • Местное примитивным
        • Интегральная формула Коши
        • Обмотка номер
        • ряд Лорана
        • Изолированная особенность
        • остаток теорема
        • конформное отображение
        • лемма Шварца
        • Гармоническая функция
        • Уравнение Лапласа
        Геометрическая теория функций
        люди
        • Коши
        • Леонард Эйлер
        • Гаусс
        • Жак Адамар
        • Kiyoshi Oka
        • Бернхард Риман
        • Вейерштрасс
        • Анализ портал
        Читайте также:  Звук регулировки громкости windows 10
        Оцените статью
        Adblock detector