Из карточек с буквами составлено слово колокол

________________________________________________________________________________

1. Комбинаторика

1. Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать двоих делегатов на конференцию?

2. Сколькими способами 5 человек могут стать в очередь друг за другом?

3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

5. Сколькими способами из группы спортсменов в 18 человек можно выбрать двоих участников соревнования?

6. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если нечетные и четные цифры в числе чередуются и не повторяются?

7. Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и четырех женщин так, чтобы мужчины и женщины чередовались. Сколькими способами он может это сделать?

8. Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые он может получить?

9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе идут в порядке возрастания?

10. Сколькими способами можно купить набор из трех пирожных, если в продаже имеются 4 сорта пирожных и пирожные в наборе могут повторяться?

11. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «ананас»?

12. Сколько различных вариантов распределения оценок за контрольную работу может быть для трех студентов, если возможны оценки «2», «3», «4» , «5»?

13. Сколькими способами можно выбрать тройку, семерку, туза из колоды в 52 карты?

14. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «знания»?

15. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?

16. Сколько шестибуквенных слов можно составить из карточек, из которых составлено слово «молоко»?

2. Классическое определение вероятности

1. Трое мужчин и четыре женщины случайным образом выстраиваются в ряд для фотографирования. Какова вероятность, что мужчины и женщины будут чередоваться?

2. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они разного цвета?

3. Из карточек, из которых составлено слово «дисплей», случайным образом выбраны 3 и выложены в ряд. Какова вероятность, что они образовали слово «лес»?

4. Карточки с буквами «к», «к», «о», «о», «с» случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность, что образуется слово «кокос»?

5. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они белого цвета?

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубика. Какова вероятность, что у случайно выбранного кубика есть окрашенная грань?

7. В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они черного цвета?

8. В n-угольнике случайным образом выбраны 2 вершины. Какова вероятность, что они принадлежат одной диагонали?

9. Из колоды в 52 карты случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что это тройка, семерка, туз?

10. Карточки с буквами «а», «а», «а», «н», «н», «с» случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово «ананас»?

11. В урне лежат 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они разного цвета?

12. Какова вероятность, что при двух бросаниях игральной кости в сумме выпадет не менее 3 очков?

13. Студент из 30 вопросов к экзамену усвоил 24. Какова вероятность, что он знает оба из доставшихся ему вопросов?

14. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубика. Какова вероятность, что у случайно выбранного кубика есть 2 окрашенные грани?

15. Длины сторон прямоугольника выражаются однозначными натуральными числами, выбранными случайным образом. Какова вероятность, что его площадь выражается нечетным числом?

16. В группе из 5 юношей и 3 девушек по жребию разыгрываются 2 билета в кино. Какова вероятность, что билеты достанутся юноше и девушке?

17. Из карточек разрезной азбуки составлено слово «бревно». Карточки перемешиваются, затем случайным образом выбираются и выкладываются в ряд 3 карточки. Какова вероятность, что они образуют слово «бор»?

Читайте также:  В каком случае натяжение каната будет больше

18. Из колоды в 36 карты случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что они пиковой масти?

19. Студент сдает в сессию 3 экзамена. За каждый экзамен равновозможны оценки «5», «4», «3», «2». Стипендия назначается при отсутствии оценок «3» и «2». Какова вероятность назначения стипендии?

20. Из колоды в 36 карт случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность, что это тузы?

3. Геометрическая вероятность

1. В квадрат со стороной 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте квадрата. Какова вероятность, что расстояние от нее до центра квадрата не больше 0,5?

2. В круг радиуса 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте круга. Какова вероятность, что расстояние от нее до центра круга не больше 0,5?

3. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте прямоугольника. Какова вероятность, что расстояние от нее до выделенной вершины прямоугольника не больше 1?

4. В куб с ребром 1 случайным образом брошена точка, положение которой равновозможно в любом месте куба. Какова вероятность, что расстояние от нее до выделенной вершины куба меньше 0,5?

5. На окружности случайным образом выбрали 2 точки, положение которых равновозможно в любом месте окружности. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше радиуса окружности?

4. Теорема сложения и умножения вероятностей

1. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,5. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

2. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность, что они обе стандартные?

3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну. Какова вероятность, что будут вынуты пики или туз?

4. Слово «ананас» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди 3 карточки и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово «сан»?

5. В лабиринте на правильном маршруте имеются 3 развилки, на каждой из которых нужно выбирать одно из двух направлений. Какова вероятность, что испытуемый пройдет лабиринт с первой попытки?

6. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 2 или на 5?

7. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность ровно одного попадания?

8. Из карточек с буквами составлено слово «колокол». Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают 4 и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово «клок»?

9. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар белый, а второй черный?

10. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй — 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара белые?

11. Какова вероятность, что наудачу выбранное натуральное число делится на 3 или на 5?

12. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность, что первый шар черный, а второй белый?

13. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй — 2 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую случайным образом переложен один шар, затем извлечен шар из второй урны. Какова вероятность, что оба этих шара черные?

14. Слово «шарада» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди и выкладывают в ряд 3 карточки. Какова вероятность, что из них образуется слово «шар»?

5. Формула полной вероятности и формула Байеса

1. В магазин поступили партии обуви с двух фабрик: 30 % — с первой и 70 % — со второй. В продукции первой фабрики 30 % обуви коричневого цвета, в продукции второй — 80 %. Какова вероятность, что наугад взятая пара обуви окажется коричневого цвета?

2. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй — 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Какова вероятность, что он белый?

Читайте также:  Жесткий диск не форматируется при установке виндовс

3. В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна — 0,7. Спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

4. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 — во втором, остальные — в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй — с вероятностью 0,6. Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

6. Повторные независимые испытания

1. Какова вероятность, что в серии из 5 выстрелов будет ровно одно попадание, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3?

2. Всхожесть семян равна 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдет не менее двух?

3. Какова вероятность, что при 5 бросаниях игральной кости ни разу не выпадет 6 очков?

4. В институте девушки составляют 70 % от числа студентов. Какова вероятность, что среди первых четырех встретившихся студентов все девушки?

7. Дискретные случайные величины

1) Дискретная случайная величина Х задана таблицей. Найдите: а) математическое ожидание; б) дисперсию.

На семи карточках написаны буквы, составляющие слово «колокол». Какова вероятность того, что на случайно извлеченной карточке написана буква, отличная от буквы "о

Комбинаторика -это раздел математики, в которомизучаются способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из п элементов обозначают через = (читается эн-факториал), где , например, , .

Замечание — Для пустого множества принимается соглашение — пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагают .

Размещениями (или упорядоченными выборками без возвращения) называют множества, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой (читается размещения m элементов из n).

Сочетаниями (или неупорядоченными выборками без возвращения) из п различных элементов по т называются множест­ва, содержащие т элементов из числа п заданных, и которые отличают­ся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из п элементов по т обо­значают: . Это число выражается формулой (читается сочетания m элементов из n).

Отметим, что числа перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством .

Замечание — Выше предполагалось, что все п элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями определяется формулой , где + +. + = .

Упорядоченные выборки, элементы которых могут повторяться, называют упорядоченными выборками с возвращениями. Число всех возможных способов выбора т элементов из п элементов определяет­ся формулой .

Неупорядоченные выборки, элементы которых могут повторяться, называют неупорядоченными выборками с возвращениями. Число всех возможных способов выбора т элементов из п элементов определяет­ся формулой .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы.Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов этого вида т способами, а другой объект В может быть вы­бран из множества объектов этого вида п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов этого вида т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать из множества объектов этого вида п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке мо­жет быть выбрана т • п способами.

Для вычисления числа комбинаций удобно пользоваться таблицей 1.

Таблица 1 -Способы выбора m элементов из n элементов

Выборка Упорядоченная Неупорядоченная
С повторением (с возвращением)
Без повторения (без возвращения)

Пример 9 При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно с первой попытки, если абонент помнит:

а) что это цифры 1 и 2;

б) что это нечетные и различные цифры;

в) только то, что цифры нечетные.

Решение. а) Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из 2 элементов: W =<12, 21>, (n = 2).

Все элементарные исходы данного пространства W равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей всех событий, связанных с этим опытом, можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Число исходов, благоприятных событию A = <номер набран правильно с первой попытки, при условии, что абонент помнит, что это цифры 1 и 2>, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Читайте также:  Каждое слово с большой буквы css

Следовательно,

Решим эту задачу, используя формулы комбинаторики.

Вычислим число способов выбора двух цифр из двух — выборка упорядоченная, без возвращения: , (n = 2). Число исходов, благоприятных событию А, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Следовательно,

б) Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из элементов:

Все элементарные исходы данного пространства W равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей всех событий, связанных с этим опытом, можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Число исходов, благоприятных событию B =<номер набран правильно с первой попытки, при условии, что абонент помнит, что это нечетные и различные цифры>, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Следовательно,

Решим эту задачу, используя формулы комбинаторики.

Вычислим число способов выбора двух цифр из пяти (1, 3, 5, 7, 9) — выборка упорядоченная, без возвращения , (n = 20). Число исходов, благоприятных событию B, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Следовательно,

в) Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из элементов:

Все элементарные исходы данного пространства W равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей всех событий, связанных с этим опытом, можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Число исходов, благоприятных событию С = <номер набран правильно с первой попытки, при условии, что абонент помнит только то, что цифры нечетные>, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Следовательно,

Решим эту задачу, используя формулы комбинаторики.

Вычислим число способов выбора двух цифр из пяти (1, 3, 5, 7, 9) — выборка упорядоченная, с возвращением: , (n = 25). Число исходов, благоприятных событию С, равно 1, т. к. при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Следовательно,

Пример 10 На пяти одинаковых карточках написаны буквы: к, н, и, г, а. Карточки перемешивают и наудачу извлекают по одной, располагая на столе одна за другой. Какова вероятность получить слово книга ?

Вычислим число способов перестановок пяти карточек: , (n = 120). Число исходов, благоприятных событию А, равно 1: m = 1.

Следовательно,

Пример 11 На десяти одинаковых карточках написаны буквы: м, а, т, е, м, а, т, и, к, а. Карточки перемешивают и наудачу извлекают по одной, располагая на столе одна за другой. Какова вероятность получить слово математика?

Решение. Определим событие A = <получено слово математика>.

Вычислим число способов перестановок десяти карточек с повторениями по формуле , , где = 2 (число повторений буквы м), = 3 (число повторений буквы а), = 2 (число повторений буквы т), = 1 (число повторений буквы е), = 1 (число повторений буквы и), = 1 (число повторений буквы к).

Число исходов, благоприятных событию А, равно 1: m = 1.

Следовательно,

Пример 12В отделе работают 3 женщины и 4 мужчины.Среди работников отдела разыгрываются 3 билета в театр. Какая вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся:

б) 1 мужчина и 2 женщины?

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно распределить 3 билета среди 7 человек, выборка неупорядоченная без возвращения: .

Определим число исходов, благоприятствующих событию А,то есть число способов распределения 3 билетов среди 3 женщин: .

Вероятность события А Р(А) = .

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно распределить 3 билета среди 7 человек, выборка неупорядоченная без возвращения.

.

Определим число исходов, благоприятствующих событию В,то есть число способов распределения 3 билетов среди 1 мужчины и 2 женщин: (число мужчин из 4, которые могут получить билет, равно 4), а число групп по две женщин из 3, которые могут получить билеты в театр, равно .

Произведение = 12 равно числу благоприятствующих случаев распределения трех билетов среди работников отдела так, чтобы один билет получил мужчина и два — женщины.

Вероятность события В Р(В) = .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8452 — | 7342 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Оцените статью
Adblock detector