Как в экселе решить систему уравнений

трюки • приёмы • решения

В этой статье мы расскажем, как использовать формулы для решения систем линейных уравнений.

Вот пример системы линейных уравнений:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Решение состоит в нахождении таких значений х и у, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Эта система уравнений имеет одно решение:
x = 7,5
y = −3,625

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений. Предыдущий пример использует два уравнения с двумя переменными. Три уравнения требуются для того, чтобы найти значения трех переменных (х,у и z). Общие действия по решению систем уравнений следующие (рис. 128.1).

Рис. 128.1. Использование формулы для решения системы из двух уравнений

  1. Выразите уравнения в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе приведено в стандартном виде:
    3x — 8 = −4y
    3x + 4y = 8 .
  2. Разместите коэффициенты в диапазоне ячеек размером n x n, где n представляет собой количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3 .
  3. Разместите константы (числа с правой стороны от знака равенства) в вертикальном диапазоне ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3 .
  4. Используйте массив формул для расчета обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter, чтобы ввести формулу массива): =МОБР(I2:J3) .
  5. Используйте формулу массива для умножения обратной матрицы коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон J10:JJ11 , который содержит решение ( x = 7,5 и у = −3,625 ): =МУМНОЖ(I6:J7;L2:L3) . На рис. 128.2 показан лист, настроенный для решения системы из трех уравнений.

Рис. 128.2. В Excel можно решить систему из трех уравнений, применив нужные формулы

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel — это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

    Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

  • После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.
  • Читайте также:  Как взломать определенный сайт

    Способ 2: подбор параметров

    Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе — это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

      Принимаем значение x за равное . Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

    Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число , принятое нами за x.

    Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

    Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за . После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

    После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

  • Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.
  • Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

    Способ 3: метод Крамера

    Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

      Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

    Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы — это первый столбец, у второй таблицы — второй и т.д.

    Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция — МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

    Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

    Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

    Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

    Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле — «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

    Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

    Читайте также:  Веб дизайн уроки бесплатно

    Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

    На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

  • Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.
  • Способ 4: метод Гаусса

    Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

      Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

    Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

    Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

    После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

    После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

    Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

    Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

    В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

    После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

    Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

    Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

    Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

    Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

    Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

    Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

  • Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.
  • Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

    Читайте также:  Как ввести пароль вай фай на телефоне

    Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

    Поиск корней системы уравнений иногда может вызывать особенные сложности, особенно, когда эти уравнения имеют огромные размеры и степени возведения. Эксель может легко справиться с поставленной задачей различными способами.

    Для того чтобы решить любую систему уравнений необходимо найти все ее корни. Сделать можно следующими способами:

    1. Матричный метод.

    Этот метод является самым популярным способ поиска корней системы. Для этого достаточно построить прямую и обратную матрицу с коэффициентами и решить ее.

    Допустим, у нас есть система уравнений, к примеру:

    Построим матрицу коэффициентов с учетом некоторых особенностей:

    • Обязательно следовать порядку нахождения чисел.
    • Отсутствие корней принято считать за равным «0».
    • Если нет коэффициента при существующем корне, коэффициент принято считать равным «1».

    Заполняем матрицу А значениями.

    Заполняем матрицу B значениями, которые следуют после знака «=».

    Поиск корней системы уравнения прежде всего начинается с поиска обратной матрицы. За это отвечает оператор «МОБР» и выглядит он так: «=МОБР(массив)».

    Определяем позицию для будущей матрицы, учитывая, что, размер обратной матрицы должен равняться размеру первичной матрицы. Открываем «Мастер функций».

    В диалоговом коне находим функцию «МОБР» и применяем операцию.

    Диапазон нашего массива А занесем в поле «Массив» и нажимаем кнопки «Ctrl+Shift+Enter». Зачем? При проведении операций с массивами данных кнопка «Enter» означает лишь ввод.

    Получив обратную матрицу необходимо произвести умножение на матрицу В. За умножение матриц отвечает функция «МУМНОЖ», которая выглядит следующим образом: =МУМНОЖ(Массив1;Массив2).

    Определяем область для будущих значений и вставляем оператор, после чего укажем оба массива и нажимаем кнопки «Ctrl+Shift+Enter».

    Найдены четыре корня уравнений матричным способом. Для проверки результатов нужно подставить корни в систему, и в случае совпадения равенства, можно считать достоверность решения.

    2. Поиск корней системы уравнений на основе подбора параметров.

    Этот метод для поиска корней заключается в том, что, имея уже готовый результат необходимо выполнить поиск всех неизвестных значений.

    К примеру, есть уравнение, которое имеет следующий вид: 3x 2+4x-132=0. Допустим, что «х» = «0». Найдем f(x), используя занеся исходные значения в ячейку «=3*x 2+4*x-132», где в поле «х» укажем значение ячейки.

    Для вызова оператора «Подбора параметра» необходимо перейти во вкладку «Данные» — «Анализ».

    В диалоговом окне укажем следующие значения:

    • «Установить в ячейке»: укажем ячейку с формулой;
    • «Значение»: — «0»;
    • «Изменяя значения: укажем ячейку со значением «х».

    После чего можно применить оператор.

    Достоверность полученных корней можно проверить путем ввода значения в уравнение.

    3. Метод Крамера

    Найти корни также можно с помощью метода Крамера, который основывается на поиске определителей.
    Допустим, наша система выглядит следующим образом:

    Создаем массивы значений, опираясь то, как это было сделано ранее, занося коэффициенты уравнений, учитывая несколько правил.

    Теперь нужно создать еще четыре сводных матрицы, взяв за основу матрицу А с заменой каждого столбца на матрицу В. То есть, первая матрица будет копией матрицы А, за исключением того, что ее первый столбец будет матрицей В, и так далее.

    Следующим шагом будет поиск определителя для каждой из матриц. Стоит учесть, решение можно будет найти лишь в том случае, если каждый из определителей будет отличным от «0».
    Используя оператор «МОПРЕД» находим определители, указывая вместо аргумента «массив» каждую из матриц.

    Подобным способом необходимо найти определители для всех указанных матриц.

    Нахождение решение уравнения методом Крамера заключается в том, что найденные определители матриц необходимо разделить на тот же определитель, но первичной матрицы.

    Нам осталось найти этот определитель, после чего можно приступить к поиску непосредственно самих корней системы. Используя ту же функцию «МОПРЕД» находим определитель первичной матрицы.

    Последним шагом станет поиск самих корней. Делим полученные определители матриц на определитель первичной матрицы и получаем решение системы уравнений.

    Как видим, поиск корней системы уравнений может не составлять особого труда — функционал программы может справиться с любой поставленной задачей, достаточно лишь понимать, как работают операторы и знать простые правила математических операций.