Содержание
- 1 Здесь будет решение…
- 2 Что значит «возведение в степень»?
- 3 Возведение числа в натуральную степень
- 4 Возведение в целую степень
- 5 Возведение числа в дробную степень
- 6 Возведение в иррациональную степень
- 7 Понятие возведения в степень
- 8 Как возвести число в натуральную степень
- 9 Как возвести число в целую степень
- 10 Как возвести число в дробную степень
- 11 Как возвести число в иррациональную степень
- Здесь будет решение…
- Инструкции к калькулятору
- Что значит «возведение в степень»?
- Возведение числа в натуральную степень
- Возведение в целую степень
- Возведение числа в дробную степень
- Возведение в иррациональную степень
- Понятие возведения в степень
- Как возвести число в натуральную степень
- Как возвести число в целую степень
- Как возвести число в дробную степень
- Как возвести число в иррациональную степень
Введите степень: |
Введите число: |
Здесь будет решение…Данный калькулятор поможет вам возвести в степень онлайн, как целое число, так и десятичную дробь. Наш калькулятор позволяет возводить в степень не только положительные, но и отрицательные числа. Степень, в которую возводится число может быть отрицательной. Инструкции к калькулятору
Вспомнить правила округления десятичных дробей вы можете в соответствующем уроке. Степени небольших чисел (до 20) советуем учить наизусть, скачав для этого «Таблицу степеней» в разделе «Для учёбы». В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени — натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени. Навигация по странице. Что значит «возведение в степень»?Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение. Возведение в степень — это нахождение значения степени числа. Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ». Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень. Возведение числа в натуральную степеньПо определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров. Выполните возведение числа −2 в четвертую степень. По определению степени числа с натуральным показателем имеем (-2) 4 =(-2)·(-2)·(-2)·(-2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16 . Найдите значение степени Данная степень равна произведению вида
Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a , то есть, Например, (-9) 1 =-9 , а число Возведение в целую степеньВозведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени. Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте. Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 . Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (-2,56) 0 =1 и Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 . По определению степени с целым отрицательным показателем имеем
Найдите значение степени (1,43) −2 .
Итак, На этом возведение в степень завершено.
В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, Возведение числа в дробную степеньВозведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что На практике равенство Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень. Вычислите значение степени Покажем два способа решения. Первый способ. По определению степени с дробным показателем Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень. Вычислите (44,89) 2,5 . Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): (44,89) 2,5 =13 501,25107 . Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники. В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида Возведение в иррациональную степеньИногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий. Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Понятие возведения в степеньНачнем с формулирования базовых определений. Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа. То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как "вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 . Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях. Как возвести число в натуральную степеньВспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так: Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры. Условие: возведите — 2 в степень 4 . Решение Используя определение выше, запишем: ( — 2 ) 4 = ( — 2 ) · ( — 2 ) · ( — 2 ) · ( — 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 . Возьмем пример посложнее. Вычислите значение 3 2 7 2 Решение Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии. Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49 Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример. Выполните возведение в квадрат числа π . Решение Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 . Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 . Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой: Это понятно из записи От основания степени это не зависит. Так, ( — 9 ) 1 = — 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 . Как возвести число в целую степеньДля удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число. В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше. Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 . 5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1 0 0 — не определен. У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач. Возведите 2 в степень — 3 . Решение Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3 Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 . Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8 Возведите 1 , 43 в степень — 2 . Решение Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей). Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449 Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a . Пример: 3 — 1 = 1 / 3 9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 . Как возвести число в дробную степеньДля выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n . Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени. У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m . Проиллюстрируем на примере. Вычислите 8 — 2 3 . Решение Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4 Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2 После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4 Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом. Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше. Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 . Решение Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 . А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107 Ответ: 13 501 , 25107 . Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника. Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 . Как возвести число в иррациональную степеньНеобходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения. Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере: Вычислите приближенное значение 21 , 174367 . Решение Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 . |