Содержание
- 1 Что значит «возведение в степень»?
- 2 Возведение числа в натуральную степень
- 3 Возведение в целую степень
- 4 Возведение числа в дробную степень
- 5 Возведение в иррациональную степень
- 6 Понятие возведения в степень
- 7 Как возвести число в натуральную степень
- 8 Как возвести число в целую степень
- 9 Как возвести число в дробную степень
- 10 Как возвести число в иррациональную степень
- 11 Примечание:
- 12 Пример
- 13 Примечание
- 14 Пример
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени — натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида
.
Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.
Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.
По определению степени числа с натуральным показателем имеем (-2) 4 =(-2)·(-2)·(-2)·(-2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16 .
Найдите значение степени .
Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень:
.
.
Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять
, то возведение в степень даст
.
Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения:
.
В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a , то есть, . Это есть частный случай формулы
при n=1 .
Например, (-9) 1 =-9 , а число в первой степени равно
.
Возведение в целую степень
Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.
Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.
Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 .
Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (-2,56) 0 =1 и , а 0 0 не определяется.
Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.
Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 .
По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2 3 =2·2·2=8 . Таким образом,
.
.
Найдите значение степени (1,43) −2 .
. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43 . Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:
Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем
.
На этом возведение в степень завершено.
.
В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, . Например, 3 −1 =1/3 ,
и
.
Возведение числа в дробную степень
Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a — любое положительное число, m — целое, а n — натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.
На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде
. То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Вычислите значение степени .
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень:
.
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень
, наконец, возводим в целую степень
.
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
.
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при
имеем
, а при
нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например,
. А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения
и 0 −4,3 .
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени
, и вычисляется значение степени
. Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем
. Чем более точное десятичное приближение
числа
будет взято изначально, тем более точное значение степени
будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например,
, то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как "вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Условие: возведите — 2 в степень 4 .
Решение
Используя определение выше, запишем: ( — 2 ) 4 = ( — 2 ) · ( — 2 ) · ( — 2 ) · ( — 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .
Возьмем пример посложнее.
Вычислите значение 3 2 7 2
Решение
Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Выполните возведение в квадрат числа π .
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .
Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
Это понятно из записи .
От основания степени это не зависит.
Так, ( — 9 ) 1 = — 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .
5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 — не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.
Возведите 2 в степень — 3 .
Решение
Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3
Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8
Возведите 1 , 43 в степень — 2 .
Решение
Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2
Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:
В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449
Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .
Пример: 3 — 1 = 1 / 3
9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.
У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .
Проиллюстрируем на примере.
Вычислите 8 — 2 3 .
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2
После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.
Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107
Ответ: 13 501 , 25107 .
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Вычислите приближенное значение 21 , 174367 .
Решение
Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .
В заданиях на нахождение иррациональной степени числа обычно предлагают найти значение степени с точностью до определенного знака. Поэтому, для того, чтобы найти значение числа в иррациональной степени (a α ) нужно взять десятичное приближение (αn) показателя степени α. Затем, найти значение числа в степени, равной взятому десятичному приближению, т.е. найти число в рациональной степени. А для этого нужно возвести число в дробную степень:
Примечание:
Чем более точное десятичное приближение взято, тем более точным будет получен результат возведения в степень.
Пример
Возвести 2 в иррациональную степень:
Запишем приближенное значение корня из двух в виде бесконечной десятичной дроби:
Теперь определим приближенное десятичной значение. Возьмем значение с точностью до 4-го знака:
Теперь возведем 2 в дробную конечную степень:
Округлим ответ до 4-го знака:
Примечание
Так как возведение в иррациональную степень довольно трудоемкий процесс, то чаще всего задания с иррациональными степенями строятся таким образом, чтобы от иррациональности можно было избавиться, используя свойства степеней.
Пример
Если решать этот пример, возводя в иррациональную степень каждый сомножитель, то это будет очень долгий и трудоемкий процесс.
Но если прежде, чем возводить в степень, упростить это выражения, используя свойство произведения степеней, то получим: