Высота пирамиды точка пересечения

Содержание

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это — пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида.

Правильнойназывается такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании — правильный многоугольник» — это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр — точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная: в основании — правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.

Четырёхугольная: в основании — квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная: в основании — правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани — равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть , а у цилиндра — нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно . Нужно найти и .

— это площадь правильного треугольника .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

У нас « » — это , а « » — это тоже , а .

По теореме Пифагора для

Чему же равно ? Это радиус описанной окружности в , потому что пирамидаправильная и, значит, — центр .

Найдем (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

, так как — точка пересечения и медиан тоже.

(теорема Пифагора для )

Подставим в формулу для .

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ), то формула получается такой:

Читайте также:  Время прибытия транспорта на остановку

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Здесь и искать не нужно; ведь в основании — квадрат, и поэтому .

Найдем . По теореме Пифагора для

Известно ли нам ? Ну, почти. Смотри:

(это мы увидели, рассмотрев ).

Подставляем в формулу для :

А теперь и и подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро .

Как найти ? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем (это ).

По теореме Пифагора для

Но чему же равно ? Это просто , потому что (и все остальные тоже) правильный.

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида — это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника ( основание пирамиды ), точки, не лежащей в плоскости основания, ( вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания ( боковые ребра ).

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани — равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

«Понял» и «Умею решать» — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Содержание

История развития пирамиды в геометрии [ править | править код ]

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит [3] , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12 [4] ).

Читайте также:  Задания на процедуры и функции в паскале

Элементы пирамиды [ править | править код ]

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Развёртка пирамиды [ править | править код ]

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства пирамиды [ править | править код ]

Если все боковые рёбра равны, то:

  • вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
  • также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами [ править | править код ]

Сфера [ править | править код ]

  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие) [5] . Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус [ править | править код ]

  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); [6]
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр [ править | править код ]

  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой [ править | править код ]

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

V = 1 3 S h , >Sh,>где S — площадь основания и h — высота; V = 1 6 V p ,

>V_

,>где V p

>— объём параллелепипеда;

  • Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле [7] :

V = 1 6 a 1 a 2 d sin ⁡ φ ,

Читайте также:  Как в мовави добавить текст на видео

>a_
a_

dsin varphi ,>где a 1 , a 2
,a_

>— скрещивающиеся рёбра , d — расстояние между a 1
>и a 2 >, φ — угол между a 1
>и a 2 >;

  • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

S b = ∑ i S i =sum _^<>S_>

  • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

S p = S b + S o =S_

+S_>

  • Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

S b = 1 2 P a = n 2 b 2 sin ⁡ α =

>Pa=

>b^

sin alpha >где a — апофема , P — периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды [ править | править код ]

Правильная пирамида [ править | править код ]

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • боковые рёбра правильной пирамиды равны;
  • в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π , а каждый из них соответственно π n >>, где n — количество сторон многоугольника основания [8] ;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида [ править | править код ]

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр [ править | править код ]

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

- около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

- боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

— боковые ребра правильной пирамиды равны;

— в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

— в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

— около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

— площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр — треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

">