Задача даламбера про монету

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например "Симметричную монету бросают дважды. " или "Бросают 3 монеты . ", но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=½=0.5$. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=½=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2−3−4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

2. Комбинаторика + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Читайте также:  Как включить подсветку на телевизоре samsung

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2cdot 2cdot 2cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=frac<4!><2!2!>+frac<4!><3!1!>=frac<3cdot 4><1cdot 2>+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\ m=C_8^4=frac<8!><4!4!>=frac<5cdot 6cdot 7 cdot 8><1cdot 2 cdot 3 cdot 4>=70;\ P=frac=frac<70><256>=0.273. $$

Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6−2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=½=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^ = C_n^k cdot left(½
ight)^k cdot left(1−½
ight)^=C_n^k cdot left(½
ight)^n. $$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k cdot left(½
ight)^n=frac<2^n>=C_n^k cdot 0.5^n, quad C_n^k=frac. $$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 cdot left(½
ight)^2=2 cdot frac<1><4>=frac<1><2>=0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 cdot left(½
ight)^4+C_4^3 cdot left(½
ight)^4=(6+4) cdot frac<1><16>=frac<10><16>=0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 cdot left(½
ight)^3=1 cdot frac<1><8>=frac<1><8>=0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 cdot left(½
ight)^8+ C_8^7 cdot left(½
ight)^8=(1+8) cdot frac<1><256>=frac<9><256>=0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Читайте также:  Бесплатный видеохостинг для видео

Полезные ссылки

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Как рассуждал Даламбер .

Пример 1. Правильная монета подбрасывается 2 раза.

Событие A: Выпадение хотя бы одного «орла».

Решение. Число возможных исходов в серии из двух испытаний равно 4:

Число исходов, благоприятствующих событию A, равно 3:

Пример 2. В семье имеется 2 ребенка.

Событие A: Хотя бы один из детей — мальчик.

Решение. Задача по своей сути не отличается от предыдущей. Только под испытанием теперь следует понимать рождение ребенка. Если рождение мальчика или девочки в одном испытании представляют собой случайные события, то число равно­вероятных исходов равно 4:

Только первые 3 исхода благоприятствуют событию A. Поэтому

.

Ошибочное решение. Число возможных вариантов в серии из двух испытаний равно 3:

Первые два исхода благоприятствуют событию A. Поэтому

не являются равно­возможными, поскольку ММ и ДД представляют собой элементарные события, тогда как событие «1 мальчик и одна девочка» — составное событие, которое разлагается на 2 исхода: МД и ДМ.

Любопытно, что подобную ошибку в рассуждениях допустил в свое время великий математик Даламбер, рассматривая задачу о подбрасывании монеты (см. Пример 1).

Разделы: Математика

Каждый год учителя жалуются на то, что падает интерес у учеников к учебе, и каждый год усложняются задания ГИА и ЕГЭ. Вот уже и элементы теории вероятностей стали полноправными заданиями в тестах. Этой теме в школьном курсе не уделялось должного внимания и казалось, что сложно будет побороть страх учеников перед этими задачами. Но мы, учителя, поняли, что т.к. изменить ситуацию невозможно, под нее надо подстраиваться.

Проанализировав демонстрационные варианты, убедилась, что для успешного решения указанных задач необходимо повторить (а может быть выучить) основные положения теории вероятностей.

Прежде всего, напомним учащимся, что же изучает этот раздел математики?

Наблюдая со стороны за различными явлениями или участвуя в проведении опытов, мы замечаем, что некоторое явление может произойти, а может и нет. Те события, исход которых предсказать нельзя, назовем случайным.

Например, нельзя заранее предсказать будет ли цифра «6» в номере машины, проезжающей сейчас мимо вас, будет ли вынут именно красный шар из коробки, в которой 4 шара разного цвета? Предсказать исход одного испытания мы не можем, а вот подсчитать вероятность его наступления при большом количестве произведенных однородных испытаний — это под силу теории вероятностей.

Основная формула классической вероятности всего одна: , где n — число благоприятных исходов, m — общее число исходов.

При этом надо подчеркивать, что общее число исходов конечно и все исходы равнозначны (в противном случае применение этой формулы невозможно, т.к. получим неверный результат).

Ученики школы среднего и старшего звена знакомятся только со случайными событиями. Причем, это знакомство в основном опирается на их жизненный опыт, интуицию.

В своей повседневной жизни мы часто повторяем: «с достаточной долей вероятности…», «мне кажется невероятно, что это произойдет», «почти со 100% вероятностью можно утверждать…». Этими фразами мы, опираясь на знания предыдущих лет (а иногда и на интуицию) прогнозируем исход какого-то события. Однако, не смотря на наш прогноз, указанное событие может произойти, а может и нет. Так, купив лотерейный билет, мы рассчитываем, конечно, на выигрыш. Подбрасывая монету, скажем, 4 раза, предполагаем, что «орел» и «решка» выпадут по 2 раза. Но проделав этот нехитрый опыт, убеждаемся, что это совсем не так в реальности. Вот тогда и возникает вопрос: а сколько раз надо бросить монету, что б вероятность выпадения нужной стороны её была почти 50%?

На все эти вопросы и отвечает теория вероятностей. Она дает возможность численно характеризовать возможность наступления того или иного события.

Еще очень важным моментом в подсчете вероятности наступления события, является то, что все испытания и их исход договорились считать равновозможными (равновероятными). Что это значит?

Рассмотрим, например, опыт, с однократным подбрасыванием монеты. В реальной жизни может быть несколько исходов: выпадет «орел», выпадет «решка», монета встанет на ребро, укатится куда-нибудь. Кроме того, при многократном подбрасывании, может оказаться, что выпадение, скажем, «орла» намного чаще, чем «решки».При детальном исследовании монеты оказалось, что на сторону «герба»ушло больше металла(при отливке монеты) и эта сторона тяжелее. Может сказаться и неоднородность металла при плавке, порыв ветра при бросании монеты, неровность поверхности, на которую падает монета и т.д. Чтоб исход испытания не зависел от этих частностей, договорились считать монету «правильной» или «симметричной», т.е. одинаковой по весу с обеих сторон, падающей на одну и ту же плоскость в безветренную погоду. Аналогично надо считать симметричными игральный кубик и игральные кости при бросании их во время эксперимента.

Следует предостеречь учеников от неверного способа решения задач рассуждением, без учета всех возможностей исходов. Приведу пример.

Задача. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна пяти.

Ошибочное решение. В данной ситуации возможны два исхода: либо сумма будет равна пяти, либо не будет. Значит, общее число исходов — два, а из них благоприятных — один (т.е. сумма равна пяти). Значит, по формуле вероятности:

В чем ошибка ученика? Как мы знаем, каждый кубик имеет 6 граней, на которых расположены точки от одной до шести. Бросая оба кубика одновременно, число очков, выпавших на первом кубике, не зависит от того, какое число очков в это время выпадет на втором. Т.е. шесть исходов первого кубика сочетаются с шестью исходами второго. И общее число равновозможных исходов: 6 • 6 = 36. Тогда, благоприятных исходов, т.е. сумма равна пяти будет 4 : 3+2; 2+3; 1+4; 4+1. Следовательно, ответ на вопрос задачи:

Очень уместно здесь познакомить учеников со знаменитой ошибкой Даламбера.

Пример. Ошибка Даламбера. Какова вероятность, что подброшенные, вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером. Опыт имеет три равновозможных исхода:

1) обе монеты упали на «орла»;
2) обе монеты упали на «решку»;
3) одна из монет упала на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными для нашего событиями будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Правильное решение. Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1) первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;
2) первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;
3) первая монета упала на «орла», вторая — на «решку»;
5) первая монета упала на «решку», вторая — на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэтому искомая вероятность равна

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

Надо напоминать учащимся, что нужно анализировать полученный результат: найденная вероятность не может быть больше 1, как не может, например, упасть на землю яблок больше, чем их находится на дереве. Что при бросании монеты, вероятность выпадения «орла» или «решки» почти одинакова, а вот вероятность, скажем, отказа тормозов у автомобиля добросовестного водителя, крайне мала. Поэтому учащиеся должны помнить, что p є [0;1].

Крайне редко, но бывают задания, где вероятность оказывается равной нулю (нулевая вероятность). События, вероятность которых равна нулю называются невозможными. Например, сумма выпавших очков на двух костях равна 13 (мы знаем, что максимальное число очков одной грани — 6, значит для двух граней — 12).

Если же вероятность равна 1 (иногда говорят «стопроцентная вероятность»), то событие называем достоверным. Примером может служить опыт с игральным кубиком и утверждение, что при подбрасывании выпало не более 6 очков.

Все остальные события, вероятность которых находится в интервале (0;1), будем называть случайными. Они и составляют основную часть задач в теории вероятностей. Их-то и решают по уже упомянутой формуле.

Хочется еще раз напомнить, что половина успеха в решении той или иной задачи (совсем необязательно по теории вероятностей) заложена во внимательном чтении условия. Очень много ошибок допускают ученики торопясь сделать задание, которое, как кажется, им знакомо и, не вникнув в исходные данные, допускают непростительные ошибки.

Приведу пример двух похожих, но абсолютно разных по смыслу (и, естественно, по способу решения) задач.

Задача №1. Фабрика выпускает сумки. В среднем, на 100 сумок, приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. (Если необходимо, результат округлите до сотых).

Решение. Вероятность найдем по формуле: . Здесь из 100 сумок 8 некачественных, следовательно, остальные качественные, т.е. 100 — 8 = 92 сумки.
m = 100,
n = 92

Задача №2. Фабрика выпускает сумки. В среднем, на каждые 100 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. (Если необходимо, результат округлите до сотых).

Решение. Вероятность найдем по формуле: . В этой задаче, в отличие от предыдущей общее количество сумок складывается из качественных ( 100 штук) и некачественных (8 штук), т.е. m = 100 + 8 = 108 .

Среди этих 108 сумок, качественных было 100 штук, n = 100

Литература.

  1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и статистика» .М «Дрофа». 2002г.
  2. Колмогоров А.Н.и др. Введение в теорию вероятностей... М. «Наука» 1982г.
  3. Скопец З.А. «Дополнительные главы по курсу математики». М. «Просвещение» .1974г.
  4. Чистяков В.П. «Курс теории вероятностей». М. «Наука» 1982г.
Оцените статью
Adblock detector