5.197. Идеальная тепловая машина, работающая но циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 73,5 кДж. Темпратура нагревателя t1 =100° С, температура холодильника t2 = 0° С. Найти к. п. д. цикла, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.
5.198. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Машина получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 6,28 кДж. Найти к. п. д. цикла и работу А, совершаемую за один цикл.
5.199. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух при давлении p1 = 708 кПа и температуре t1 = 127° С занимает объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал равным V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А , совершаемую за весь цикл; к. п. д. цикла; д) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за один цикл; е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за один цикл.
5.200. Количество v = 1 кмоль идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от V1 = 25 м3 до V2 = 50 м3 и давление изменяется от р1 = 100 кПа до р2 = 200 кПа. Во сколько раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем увеличился в 2 раза?
Тема. Решение задач по теме «Физические принципы работы тепловых машин. Циклы тепловых машин. К.п.д. тепловых двигателей».
- помочь учащимся сформулировать принципы работы тепловой машины, разобраться в ее принципиальном, с точки зрения физики, устройстве;
- научить вычислять полезную работу, совершенную тепловой машиной за цикл;
- освоить методы расчета к.п.д. тепловых двигателей.
В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.
Прежде чем приступить к выполнению задания, следует сформулировать физические принципы работы тепловой машины, вспомнить, что работа за цикл определяется площадью под кривой цикла, определить понятие к.п.д. тепловой машины, кратко рассмотреть обратимый цикл Карно и его к.п.д., при этом обратив внимание, что значение к.п.д. обратимого цикла Карно ставит теоретический предел возможному значению к.п.д. реальной тепловой машины.
- Восходящий от поверхности земли поток воздуха представляет собой своеобразный тепловой двигатель. Укажите в нем основные части, присущие любому тепловому двигателю.
- Что является нагревателем и холодильником в ракетном двигателе?
- Станет ли к.п.д. тепловой машины равным 100 %, если трение в частях машины свести к нулю?
- Какие пути вы можете указать для повышения к.п.д. тепловых двигателей?
- Почему в качестве источников энергии затруднительно использовать внутреннюю энергию вод мирового океана и земной атмосферы?
Примеры решения расчетных задач
Рабочее вещество, внутренняя энергия которого U связана с давлением P и объемом V соотношением U = kPV, совершает термодинамический цикл, состоящий из изобары, изохоры и адиабаты (рис. 1). Работа, совершенная веществом во время изобарного процесса, в m = 5 раз превышает работу внешних сил по сжатию вещества, совершенную при адиабатическом процессе. К.п.д. цикла η=¼. Определите k.
| К.п.д. цикла по определению равен | |
 |
(1) |
| Полезная работа, совершенная веществом за цикл | |
 |
(2) |
| где A12 — работа, совершаемая веществом на изобаре 1->2, A31 — работа, совершенная над рабочим веществом на адиабате 3->1 (A31 2. | |
| Используя заданную в условии задачи связь внутренней энергии рабочего вещества с давлением и объемом на изобаре 1->2, можно записать | |
 |
(4) |
| Тогда | |
 |
(5) |
Учитывая, что, согласно условию задачи, , уравнение (2) можно представить в виде |
|
 |
(6) |
Подставляя (5) и (6) в (1) и решая относительно k, находим
.
Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно между изотермами T и T1 (T1>T) (рис. 2). Холодильником является резервуар, температура которого постоянна и равна T2 = 200 К (T2 2 и 2->3, в которых давление P газа линейно зависит от занимаемого им объема V, и изохорического процесса 3->1 (рис. 3). Величины P и V считаются известными. Найдите:
- температуру и давление газа в точке 3;
- работу, совершенную газом за цикл;
- к.п.д. машины.
Давление, объем и температуру в точках 1, 2 и 3 обозначим через P, V и T с соответствующими индексами.
| Поскольку на участке 2->3 давление линейно, но зависит от занимаемого объема, то можно записать | |
 |
(1) |
| Из рисунка видно, что | |
| V3=3V, P2=P, V2=7V. | |
| Подставляя эти значения в (1), находим P3 | |
 |
(2) |
| Из уравнения состояния идеального газа, используя (2), получаем T3. | |
 |
(3) |
| Работа газа за цикл численно равна площади треугольника 123. Эту площадь можно вычислить как сумму площадей двух прямоугольных треугольников | |
 |
(4) |
| Для вычисления к.п.д. цикла нужно найти количество теплоты, полученное газом. | |
| Количество тепла, полученное газом на участке 3->1, равно | |
 |
(5) |
| Покажем, что на участке цикла 1->2 есть точка К с соответствующим объемом VK таким, что газ при V VK отдает тепло. | |
| Найдем аналитическое выражение процесса, соответствующего участку 1->2. Как видно из рисунка, участку 1->2 соответствует линейная функция | |
 |
(6) |
Введем обозначения и найдем параметры k и b, воспользовавшись данными, указанными на рисунке. |
|
При x = 0 , следовательно, b = 8; |
|
| y = 0 0 = kx + 8, следовательно, k = −1. | |
| Таким образом, (6) представляется в виде | |
 |
|
| или | |
 |
(7) |
| Подставив P в виде (7) в уравнение состояния идеального газа PV = νRT, получаем | |
 |
(8) |
| Из уравнения (8) в приращениях | |
 |
(9) |
С учетом полученных соотношений (7) и (9) уравнение 1-го закона термодинамики на участке 1->2 можно представить в виде |
|
 |
(10) |
| Из полученного уравнения видно, что на участке 1->2 Q1K > 0 при V 5V, следовательно, | |
 |
|
| Воспользовавшись этими значениями, найдем количество теплоты, получаемое газом на участке 1->К, предварительно определив T1 из уравнения состояния идеального газа | |
 |
(11) |
Итак, совершая полный цикл, газ получает тепло на участках 3->1 и 1->К. Количество полученного на этих участках тепла определяется равенствами (5) и (11).
Работа, совершенная газом за цикл, найдена в (4).
Теперь есть все данные для определения к.п.д. цикла.
Ответ: к.п.д. рассмотренного цикла равен 32 %.
Идеальная холодильная машина имеет в качестве холодильника резервуар с водой при 0°С, а в качестве нагревателя — резервуар с кипящей водой. Какую работу надо совершить, чтобы превратить в лед 1 кг воды? Какое количество воды в нагревателе превратится при этом в пар? Удельная теплота плавления льда λ = 340 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2260 кДж/кг.
Холодильная машина работает по такому принципу: за счет внешней механической работы тепло отнимается от более холодного резервуара и передается более горячему резервуару.
Полезный эффект холодильной машины определяется количеством теплоты Qx, отобранным у охлаждаемого тела, а затраченная энергия — это внешняя работа A, совершенная над рабочим телом. Отношение
обычно называют холодильным коэффициентом.
Если холодильная машина работает по так называемому идеальному циклу — обратному циклу Карно (цикл Карно теперь обходится против часовой стрелки), то
Из этой формулы видно, что ε может быть меньше, больше или равен 100 %. Действительно, возможно построить холодильную машину, у которой разность температур нагревателя и холодильника будет больше, меньше или равна температуре холодильника.
Тот факт, что ε может быть больше 100 %, иногда вызывает вопрос — не нарушается ли при этом закон сохранения энергии. На самом деле никакого противоречия с законом сохранения энергии нет. Тепло, отработанное у охлаждаемого тела, и энергия, затраченная на совершение работы извне, вовсе не переходят друг в друга, а отдаются нагревателю (обычно у холодильных машин им является окружающая среда).
Холодильный коэффициент идеальной машины, работающей в заданном по условию задачи температурном интервале, равен
При замерзании 1 кг воды выделяется количество теплоты
Совершенная при этом работа
Нагреватель получает количество теплоты Qн
Следовательно, в пар превратится масса воды
Задачи для самостоятельной работы
1. Тепловая машина имеет коэффициент полезного действия (к.п.д.) η = 20 %. Каким станет ее к.п.д., если количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличится на 40 %, а количество теплоты, отдаваемое холодильнику, уменьшится на 20 %?
Ответ: к.п.д. машины стал
, то есть увеличился, и составляет примерно 54 %.
2. Рассчитайте к.п.д. циклов, представленных на рис. 4.
Ответ: 
3. На рис. 5 показаны два замкнутых термодинамических цикла, произведенных с идеальным одноатомным газом 1->2->3->4->1 и 1->5->6->4->1. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?
Ответ: для второго цикла к.п.д. выше, η1=0,74η2 .
4. Найдите к.п.д. цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат (рис. 6). Рабочим веществом является азот. Известно, что в пределах цикла объем газа изменяется в 10 раз, то есть Vmax / Vmin=10 .
Ответ: к.п.д. цикла равен 60 %.
5. Определите к.п.д. цикла, показанного на рис. 7. Газ идеальный одноатомный. Участки 2->3 и 4->5 на чертеже представляют собой дуги окружностей с центрами в точках O1 и O2.
Ответ: к.п.д. цикла равен 19 %.
- Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 3. Строение и свойства вещества. — М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. — С. 142−170.
- Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. — М.: Физматлит, 2005. — С. 88−90.
- Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. — М.; Ростов н/Д: Издательский центр «Март», 2004. — С. 254−268.
Рабочее тело в цикле Карно — 1 кг сухого воздуха. Предельные температуры рабочего тела в цикле: наибольшая t1, наименьшая t3. Предельные давления рабочего тела в цикле: наибольшее р1, наименьшее р3.
Определить: 1) основные параметры рабочего тела в характерных точках цикла; 2) количество теплоты, подведенное в цикле; 3) количество теплоты, отведенное в цикле; 4) полезную работу, совершенную рабочим телом за цикл; 5) термический КПД цикла; 6) изменение энтропии в изотермических процессах цикла.
Построить цикл (в масштабе) в координатах p-v и T-s.
R=287 
-газовая постоянная воздуха
k=1,4 — показатель адиабаты для сухого воздуха
1.Определим параметры рабочего тела в точке 1:
, 
Объём получим из уравнения состояния:
,откуда 
Он же будет являться и удельным объёмом, так как масса рабочего тела 1 кг:
2. Определим параметры рабочего тела в точке 2:
, так как процесс 1−2 изотермический.
Давление найдем, рассмотрев адиабатный процесс 2−3:
Запишем один из вариантов уравнения адиабатного процесса 
Получим соотношение параметров:
Объём найдем из уравнения состояния, аналогично предыдущему пункту:
3. Определим параметры рабочего тела в точке 3:
, 
Объём найдем из уравнения состояния:
4. Определим параметры рабочего тела в точке 4:
, так как процесс 3−4 изотермический
Давление найдем, рассмотрев адиабатный процесс 4−1, аналогично расчетам, проведенным выше:
Объём найдем из уравнения состояния:
5. Определим количество теплоты, подведенное в цикле:
Для идеального цикла Карно подведенное тепло — это тепловой эффект в изотермическом процессе 1−2, который рассчитывается по формуле
Получение формулы для изменения энтропии рассмотрено в предыдущей задаче. Воспользуемся этой формулой:
, T=const,очевидно, что 
, отсюда
Выполним подстановку в формулу:
6. Определим количество теплоты, отведенной в цикле:
Используем формулу из предыдущего пункта относительно процесса 3−4
1 кДж
7. Определим полезную работу, совершенную телом за цикл:
Работа в цикле равна разности подведенной и отведенной теплоты:
8. Определим термический КПД цикла:
Воспользуемся формулой 
Для проверки можно воспользоваться другой формулой:
9. Определим изменение энтропии в изотермических процессах:
Формулу для вычисления энтропии мы получили в пункте 5. Воспользуемся ей:
Изменение энтропии в процессе 1−2:
Изменение энтропии в процессе 3−4:
10. Изобразим рассмотренный цикл в pV-и TS-диаграммах:
1.Из каких процессов состоит цикл Карно?
Он состоит из двух адиабатных и двух изотермический процессов.
2. Что показывает термический КПД цикла теплового двигателя?
Термический КПД термодинамического цикла показывает, какое количество получаемой теплоты машина превращает в работу в конкретных условиях протекания идеального цикла. Чем больше величина ηt, тем совершеннее цикл и тепловая машина.
3. В какой диаграмме и какой площадью можно проиллюстрировать полезную работу, совершаемую рабочим телом в цикле?
В P-V диаграмме и работа равна площади под графиком цикла.
4.В какой диаграмме и какой площадью можно проиллюстрировать количество теплоты, участвующее в процессе?
В T-S диаграмме и количество теплоты может представлять собой площадь под графиком процесса.