Задачи на геометрическую вероятность

На этой странице вы найдете решения типовых задач по теории вероятностей на тему Геометрическое определение вероятности — задачи из методичек и популярных учебников.

Используйте их, чтобы научиться решать свои задачи (или заказывайте нам, если есть трудности). Краткую теорию по этой теме вы найдете в онлайн-учебнике.

Решенные задач

Задача 1. В прямоугольник 5*4 см 2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Задача 2. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Задача 3. На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.

Задача 4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше трех, не превзойдет трех, а их произведение будет не больше 2/7?

Задача 5. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма х + у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.

Задача 6. На отрезке АВ длиной l независимо одна от другой поставлены 2 точки L и M, положение каждой из которых равновозможно на AB. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.

Задача 7. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 мин., другое — t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
T1=1100; T2=1300; t=15.

Решебник по теории вероятности

Сложности с решением своей задачи? Возможно, она уже решена. Найди свою задачу в решебнике:

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть и — площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна

.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Читайте также:  Имена клонов из звездных войн

Дуэлянты встречаются, если , т. е. x —

В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей возникновения теории вероятности как науки, показаны способы решения различных задач на геометрическую вероятность

Скачать:

Вложение Размер
Геометрическая вероятность 197 КБ
Презентация 2.25 МБ

Предварительный просмотр:

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Скворцова Дарья Андреевна, 10 класс

Дударь Галина Аркадьевна

МБОУ «Брянский городской лицей №2

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками. Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров. На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен. Меня заинтересовал один вопрос: какова вероятность того, что водный «снаряд» попадет в назначенное место во время того, как самолет движется на огромной скорости, а леса и поля мелькают внизу, подобно брызгам с кисти неосторожного художника? Или же здесь можно полагаться лишь на интуицию и на опытность пилота?

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?

Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.

— познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

— изучить теорию по данной теме;

— рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;

— применить полученные знания на практике.

— изучение литературы по данной теме;

— выбор задач различных типов и уровней сложности;

— ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;

— применение навыков для решения практических задач;

— синтез полученных данных.

1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше ( 1657 год ) издания писем Паскаля и Ферма ( 1679 год ).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли : он доказал закон больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев , А. А. Марков и А. М. Ляпунов . В это время были доказаны закон больших чисел , центральная предельная теорема , а также разработана теория цепей Маркова . Современный вид теория вероятностей получила благодаря Андрею Николаевичу Колмогоров у и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики .

2.Основные теоретические сведения

Теория вероятностей — раздел математики , изучающий закономерности случайных явлений : случайные события , случайные величины , их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

  1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
  2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
  3. найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.
Читайте также:  Интеграция программ в дистрибутив windows 7

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве — это отношение мер данных объектов.

Задача 1 : найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: пусть точка О — середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков.

2. Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России? Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.

Р(А) = S(A)/S(B) , где Р — вероятность, а S — площадь.

Задача 2 : внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.

Решение: пусть событие Е — точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события Е пропорциональна мере этого куба и равна P (E) = U куба / U параллелепипеда . Но объем куба равен 27 см 3 , а объем параллелепипеда — 240 см 3 . Следовательно, Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0.113

! Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероятность — несоответствие размерностей. Часто при вычислении геометрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятности на «безразмерность».

3.Задачи на нахождение геометрической вероятности

Задача 3 : точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ? (рис.1)

Решение: точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной 1 — 2* = .

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F) вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Задача 4: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?

Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других. Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника (рис.2). Он имеет площадь, равную одной четверти большого треугольника, и, следовательно, вероятность равна одной четвертой.

Задача 5 : два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение: пусть x — момент времени прихода первого студента, y — момент времени прихода второго студента. Тогда x, y € [0;60] (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) — задает область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) — задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом (рис.2). Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G. Р(A)=60*60/(60*60−40*40) = 5/9.

Задача 6: согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком [0;1]. Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т.е. 0,1 .

Задача 7 : в одном из лесных хозяйств Брянской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.

Читайте также:  Забыл пароль от домашней группы

Решение: Площадь леса равна а*b, площадь горящей области — r 2 . Тогда Р(А) = r 2 / а*b

Таким образом, знакомство с теорией вероятности помогло мне в решении проблемы. После составления и решения задачи 7, я могу сказать, что можно найти много вариантов практического применения геометрической вероятности.

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными литературными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Применила полученные знания для решения интересующей меня проблемы. В дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности, например «Задача Сильвестра».

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

  1. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» — Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
  2. М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» — Москва, «Наука», 1972
  3. Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова — «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе» — Москва, «Просвещение», 2011
  4. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» — Москва, «Мнемозина», 2009
  5. А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» — Москва, «Педагогика», 1989
  6. З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» — Москва, «Просвещение», 1974
  7. Л.А.Трофимова «План-конспект «Геометрическая вероятность»
  8. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» — Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
  9. http://www.historydata.ru

Задача 8: на окружности радиуса R случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R?

Решение: расстояние меньше R значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше R или меньше стороны вписанного шестиугольника. Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0.2

Задача 9 : на отрезке АВ длины l независимо друг от друга выбираются наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка М окажется ближе к точке А, чем точка N?

Решение : пусть АМ = х, АN = y. Рассматриваемому событию будет благоприятствовать лишь те точки, которые удовлетворяют условию у>x. Множество всех возможных исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, геометрически изображается точками заштрихованного треугольника, т.к. координаты всех точек этого треугольника связаны соотношением у>x. Следовательно, искомая вероятность равна 0.5.

Задача 10: из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника (рис.4).

Решение: средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Задача 11: Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом (рис.5). Контурами показаны возможные расположения второй кляксы — в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца: S кольца = *3 2 — *1 2 = 8 см 2 . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания — прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры S1: S1 = 20*25 — 8 = 500−8

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500−8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Задача 12: 10 % поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный цвет, остальные 90% белые. Доказать, что можно вписать в шар куб так, чтобы все вершины попали в белые точки.

Решение : впишем куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар случайным образом . Тогда вероятность того, что данная вершина (например, вершина А) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна их восьми вершин окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют по крайне мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые.

Несколько более сложная задача носит название задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятности того, что четыре точки A, B, C, D, взятые случайно внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает в треугольник, образованный тремя другими.

Оцените статью
Adblock detector