Задачи на изготовление деталей

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?

Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает деталь. На изготовление 110 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

Таким образом, второй рабочий изготавливает 10 деталей в час.

Если первый рабочий тратит на час меньше, то не должно ли быть (110/n+1) — 1?

Объясните, пожалуйста, никак не сообразить

Большее время равно увеличеному на час меньшему.

так как у второго время выполнения больше идет,то чтобы уравнять время выполнения,надо к первой работе прибавить 1 час

Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?

Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталь, На изготовление 156 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:

Таким образом, первый рабочий изготавливает 13 деталей в час.

если брать за n число деталей второго рабочего ,а первого n+1 то получим в конце уравнение n^2+n-156=0 где корнями будут числа 12 и −13 следовательно ответ 12. Но по данному решению ответ 13 не понимаю объясните кто-нибудь.

Таким образом вы найдёте число деталей, которые изготавливает в час второй рабочий. Первый рабочий изготавливает на одну деталь в час больше, следовательно, ответ — 13.

На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Обозначим — число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:

Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час

Пусть первый рабочий сделает за час х деталей, тогда второй за час сделает (х+1) деталей. 40 деталей первый рабочий сделает за 40/x часа, второй рабочий 36 деталей сделает за 36/(x+1) часа. Зная,что первый рабочий тратит на 2 часа больше,чем второй,составим и решим уравнение:

x=(-1+9)/-2=-4 — не удвлетворяет условию;

Ответ: 5 деталей в час делает первый рабочий

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

В этом уроке, ты научишься разбираться с любыми задачами на работу.

Рассмотришь разные способы решения задач (что сэкономит время на экзамене!)

Разберешь более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ)

Let's do it! (Давай начнем!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Основная формула​​​ задач на работу

Задачи на работу — это то же самое.

Основная формула здесь выглядит так:

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью .

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Пусть производительность первого равна (ее нам и нужно найти). Тогда второго — . Если первый сделал заказ за время , тогда второй — за время . Работа равна .

I способ. С помощью таблицы.

Работа Производительность Время
I рабочий
II рабочий

Для каждой строки можем написать формулу:

Читайте также:  Зачем натирают веревку мылом при повешении

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для :

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: .

II способ. Без таблицы.

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа — для второго.

Напомню, что первый работал на часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить :

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение — это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Движение Работа
Скорость движения Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь Выполненная работа
Потраченное на движение время Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние км первый велосипедист проезжает на часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ — без таблицы).

Пусть скорость первого , тогда второго . Сколько времени едет первый? . Сколько времени едет второй? . На сколько время первого больше, чем второго? На часа:

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение — одно и то же.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Первая труба заполняет бассейн за часов, а вторая — за . За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Бассейн — это путь. Допустим, из в . Итак, первый автомобиль проезжает путь за часов, второй — за .

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: . А второго? .

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час — именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: .

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа :

При совместной работе производительности складываются.

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Для начала рекомендуем тебе освоить предыдущий раздел, а так же раздел «Задачи на движение».

Потому что задачи на работу — это почти то же самое!

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

Или, если записать математическим языком:

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени.

Или скорость выполнения работы. Вася решает задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение. Обычный способ.

  1. Нам известно, что всего деталей . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит часов, а второй — часов.
  2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность . И у второго рабочего она больше на детали в час. То есть производительность первого рабочего , а у второго .
  3. Поскольку нам известно, что производительность — количество работы выполняемой за определенный промежуток времени , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
    Производительность первого рабочего — , а второго —
    .
    Мы получили систему уравнений:

    Решим её:

    Почему мы выражаем ? Потому что нас интересует производительность
    , а находить нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».

    По теореме Виета:

    Очевидно, что производительность не может быть меньше , поэтому
    . Это как раз то, что мы искали.
Читайте также:  Диоды шоттки в блоках питания компьютера

Альтернативный (продвинутый) способ решения.

Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.

Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть (работа), а нужно найти (производительность).

Так давай сразу выразим время!

Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.

Сколько на нее протратит первый?

Вся работа — это деталей, а делает он деталей в час: .

А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что , то за часов.

Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на часа больше, чем второй.

Значит, второму придется еще часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
, или
.

Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий — а значит снизили возможность ошибки!

Первая труба пропускает на литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем первая?

У нас есть объем работы ( литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы — .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? . А вторая?

Выражаем во втором уравнении и приравниваем:

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

Чтобы проще было извлекать корень, разложим на множители:

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый равен .

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает литров в час, а первая литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает литров в час, а вторая литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом литров, работая вместе?

Чему равна производительность первой трубы? литров в час.

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что . Ведь за час первая труба нальет литров, и за этот же час вторая нальет литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются .

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на часов меньше, чем второй?

Примем всю работу за (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за часов.

Производительность первой бригады, таким образом: , а второй — .

То есть их общая производительность была .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за часов. То есть:

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти :

По теореме Виета:

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за часов, если работала в одиночку.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за дня делает столько же, сколько второй за дней?

Читайте также:  Дом ру забыл логин и пароль

Обозначим за и — производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за .

Нам нужно найти .

Тогда по условию задачи:

Кроме того, в условии сказано, что за дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за дней, то есть:

Составим и решим систему:

Подставим из второго уравнения системы в первое и решим его:

Нам нужно найти . Так выразим его!

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

На изготовление деталей первый рабочий тратит на часов меньше, чем второй рабочий на изготовление таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на деталей больше?

  1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят деталей, то есть: .
  2. Значит нужно найти и . Первый рабочий за час делает на деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго — .
  3. деталей первый рабочий делает за часов, а таких же деталей второй рабочий делает за часов. То есть: .
    Приравняв , получаем уравнение:
    .
    По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: .
  4. Производительность первого рабочего — деталей в час, а второго — деталей в час. Значит их общая производительность деталей в час. И партию на деталей они изготовят за часов.

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает машин на часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за час на автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом литров?
  4. На изготовление деталей мастер тратит на часов меньше, чем ученик на изготовление таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за дней делает столько же, сколько первый за дня?

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени:

Задачи на совместную работу

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

«Понял» и «Умею решать» — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

В разделе «тренировка» , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена

Оцените статью
Adblock detector