Закон движения материальной точки задано уравнениями

Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м). Определить скорость точки в моменты времени t₁=2 с и t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае

(м/с).

Найдем V₁ и V₂:

, м/с;

, м/с.

где (м), (м)

м/с.

Ответ: V₁=7 м/с, V₂=11,4 м/с, м/с

Задача 2. Тело массой кг движется по вертикальной стене. Сила действует под углом a = 30 0 к вертикали. Коэффициент трения . Найти величину силы , если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с 2 .

На тело действуют четыре силы: сила , сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения . Покажем эти силы на рисунке.

Запишем II закон Ньютона в виде

. (1) Ось OY направим вертикально вверх, ось OX — перпендикулярно стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид

OХ: (2)

OY: . (3)

Сила трения скольжения

. (4)

Используя (2) и (4), перепишем (3):

.

Н.

Ответ: Н.

Задача 3. Частица массой m₁, имеющая скорость V₂, налетела на покоящийся шар массой m₂ и отскочила от него со скоростью U₁ под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U₂ шара после соударения? Считать удар центральным.

Используя закон сохранения импульса, получим

На рисунке покажем импульсы тел.

Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:

,

отсюда

Ответ:

Задача 4. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.

Обозначим: V — скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U — скорость шара с пулей в верхней точке.

В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид

Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX .

В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией ; в верхней точке — кинетической и потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.

Закон сохранения механической энергии запишем в виде

. (2)

. (2¢)

В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:

(3)

где

Из уравнения (1) выразим V:

_. (4)

(5)

Подставив (5) в (2¢), получим

Найдем V , вернувшись к (4)

Ответ:

Задача 5. По наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.

Тело участвует в сложном движении:

1)поступательно движется вниз по наклонной плоскости;

2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

На рисунке покажем силы, действующие на тело.

Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось OX.

. (1)

Для вращательного движения используем закон

, (2)

где — момент инерции, — угловое ускорение.

Момент силы создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы не создают вращающего момента.

.

.

Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):

. (4)

Зная моменты инерции диска и шара

,

найдем ускорения диска и шара

,

Ответ: ,

Задача 6.Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями . Найти их относительную скорость.

Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

, где , -скорости первой и второй частицы; — их относительная скорость: с- скорость света в вакууме.

Это означает, что, во первых, ни в какой инерциальной системе отсчёта скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: = 0,91С.

Задача 7.Математический маятник длиной l₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l₂=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.

При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны ,

где .

(1)

Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:

(2)

Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение

(3)

Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.

Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.

Задача 8. К пружине подвешен груз массой . Зная, что пружина под влиянием силы растягивается на , определить период вертикальных колебаний груза.

Период колебаний груза на пружине , где — коэффициент жесткости пружины. Учитывая, что , находим и, подставив, получим .

Ответ: .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9373 — | 7304 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Движение материальной точки в пространстве — это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z — ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Кинематические законы движения

Механическим движением называют изменение положения тела относительно тел, составляющих систему отсчета. Для того чтобы описать движение тела следует выбрать систему отсчета в которую ходят: тело отсчёта, система координат, которая связана с телом отсчета и часы (отсчет времени). Движение можно описать при помощи трех способов: координатного (скалярного), векторного, траекторного (натурального).

В декартовой системе координат (рис.1) положение материальной точки (M) определяют три координаты () или радиус-вектор , который проведен из начала системы координат в рассматриваемую точку.

Если точка перемещается, то в любой следующий момент времени координаты изменяются:

Уравнения (1) называют скалярными кинематическими уравнениями движения материальной точки (параметрическими уравнениями). Данные уравнения определяют перемещение точки координатным способом.

Радиус- вектор можно определить как:

где , , — единичные векторы по осям X,Y,Z (рис.1).Выражение:

является векторным кинематическим уравнением движения материальной точки. Выражения 1−3 называют кинематическими законами движения материальной точки. Данные законы полностью описывают движение точки.

Модуль (длина) радиус- вектора находится при помощи формулы:

Динамические законы движения материальной точки

Динамика рассматривает движение материальной точки в зависимости от сил, которые к ней приложены. Основные законы классической динамики сформулированы Ньютоном.

Первый закон Ньютона:

Материальная точка не изменяет своего состояния покоя или движется равномерно и прямолинейно, если внешние силы на нее не действуют или действие их взаимно скомпенсированы.

Второй закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчета результирующая сил (), приложенных к материальной точке равна произведению ее массы () на ускорение ():

Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываю как:

где — координаты перемещающейся материальной точки, , , —проекции сил, приложенных к точке.

С помощью дифференциальных уравнений перемещения материальной точки при известной массе находят силы, которые действуют на точку.

Примеры решения задач

Задание

На материальную точку действуют сила тяжести () и сила сопротивления, пропорциональная скорости () движения точки () (рис.2). Составьте динамические уравнения движения материальной точки.

Решение Проекциями векторного равенства являются выражения:

Применяя второй закон Ньютона выражения (1.1) — (1.3) преобразуем к виду:

Ответ

Задание	Радиус — вектор материальной точки задан функцией: , где 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" w />, , — орты осей X и Y. Запишите уравнение траектории (, изобразите ее график.
Решение	Векторное кинематическое уравнение имеет вид:

В условии задачи радиус 0 вектор задан как:

Следовательно, сравнивая выражения (2.1) и (2.2) имеем:

Выразим из первого уравнения (2.3) время и подставим его во второе уравнение, получим:

Уравнение траектории — это парабола (рис.3).