Запишите разложение данного вектора

Ответ или решение 1

Если i, j, k — векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox и Oy, то разложение вектора а по двум координатным осям выражается формулой: a = a_x * i + a_y * j, где a_x, a_y — проекции вектора a на координатные оси и называются координатами вектора.

Отсюда, разложение вектора m <4;-5>по координатным векторам будет иметь вид: m = −4 * i — 5 * j.

Формула

Пусть есть вектор $ overline $ и векторы $ overline

, overline, overline $. Как разложить вектор $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $ ?

Достаточно представить вектор $ overline $ в виде линейной комбинации:

$$ overline = alpha overline

+ eta overline + gamma overline $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ egin x= alpha p_x + eta q_x + gamma r_x \ y=alpha p_y + eta q_y + gamma r_y \ z = alpha p_z + eta q_z + gamma r_z end $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ alpha, eta, gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ egin 10= 2alpha + 3 eta + 5 gamma \ 3=3 alpha + 7 eta + 4 gamma \ 3 = 1 alpha + 2 eta + 2 gamma end $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ egin 2alpha + 3 eta + 5 gamma = 10 \ 3 alpha + 7 eta + 4 gamma = 3 \ alpha + 2 eta + 2 gamma = 3 end $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ alpha, eta, gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ Delta = egin 2 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 1 & 2 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 5 — 5 cdot 7 cdot 1 — 4 cdot 2 cdot 2 — 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 — 35 — 16 — 18 = 1 $$

Так как $ Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ Delta_1 = egin 10 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 3 & 2 & 2 end = $$

$$ = 10 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 5 — 5 cdot 7 cdot 3 — 4 cdot 2 cdot 10 — 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 — 105 — 80 — 18 = 3 $$

$$ Delta_2 = egin 2 & 10 & 5 \ 3 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 3 cdot 2 + 10 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 3 cdot 5 — 5 cdot 3 cdot 1 — 4 cdot 3 cdot 2 — 10 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 — 15 — 24 — 60 = −2 $$

$$ Delta_3 = egin 2 & 3 & 10 \ 3 & 7 & 3 \ 1 & 2 & 3 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 3 + 3 cdot 3 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 10 — 10 cdot 7 cdot 1 — 3 cdot 2 cdot 2 — 3 cdot 3 cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 — 70 — 12 — 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ alpha, eta, gamma $:

Зная постоянные $ alpha, eta, gamma $, запишем разложение вектора $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $:

$$ overline = 3overline

— 2overline + 2overline $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ оставил Гость

I- это х
j- это y
2i-3j

Нельзя всё время учиться. А для развлечения мы рекомендуем вам поиграть в отличную игру: