Значок площади в математике

Знания о том, как измерить Землю, появились еще в древности и постепенно оформились в науку геометрию. С греческого языка это слово так и переводится — «землемерие».

Мерой протяжённости плоского участка Земли по длине и ширине является площадь. В математике она обычно обозначается латинской буквой S (от англ. «square» — «площадь», «квадрат») или греческой буквой σ (сигма). S обозначает площадь фигуры на плоскости или площадь поверхности тела, а σ — площадь поперечного сечения провода в физике. Это основные символы, хотя могут быть и другие, например, в сфере сопротивления материалов, А — площадь сечения профиля.

Формулы расчета

Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных. Античными математиками были выведены формулы, по которым можно легко их вычислять. Такими фигурами являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, круг.

Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми.

Треугольник

Начнём с самой простой фигуры — треугольника. Они бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Возьмём любой треугольник ABC со сторонами AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). Чтобы найти его площадь, вспомним известные из школьного курса математики теоремы синусов и косинусов. Отпуская все выкладки, придём к следующим формулам:

  • S=√[p•(p-a)•(p-b)•(p-c)] — известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 — полупериметр треугольника;
  • S=a•h/2, где h — высота, опущенная на сторону a;
  • S=a•b•(sin γ)/2, где γ — угол между сторонами a и b;
  • S=a•b/2, если ∆ ABC — прямоугольный (здесь a и b — катеты);
  • S=b²•(sin (2•β))/2, если ∆ ABC — равнобедренный (здесь b — одно из «бёдер», β — угол между «бёдрами» треугольника);
  • S=a²•√¾, если ∆ ABC — равносторонний (здесь a — сторона треугольника).

Четырёхугольник

Пусть имеется четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Чтобы найти площадь S произвольного 4-угольника, нужно разделить его диагональю на два треугольника, площади которых S1 и S2 в общем случае не равны.

Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:

  • S=(a+c)•h/2=e•h, если 4-угольник — трапеция (здесь a и c — основания, e — средняя линия трапеции, h — высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
  • S=a•h=a•b•sin φ=d1•d2•(sin φ)/2, если ABCD — параллелограмм (здесь φ — угол между сторонами a и b, h — высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 — диагонали);
  • S=a•b=d²/2, если ABCD — прямоугольник (d — диагональ);
  • S=a²•sin φ=P²•(sin φ)/16=d1•d2/2, если ABCD — ромб (a — сторона ромба, φ — один из его углов, P — периметр);
  • S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD — квадрат.

Многоугольник

Чтобы найти площадь n-угольника, математики разбивают его на простейшие равные фигуры —треугольники, находят площадь каждого из них и затем складывают. Но если многоугольник относится к классу правильных, то используют формулу:

S=a•n•h/2=a²•n/[4•tg (180°/n)]=P²/[4•n•tg (180°/n)], где n — количество вершин (или сторон) многоугольника, a — сторона n-угольника, P — его периметр, h — апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.

Круг — это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон. Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2•π•R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:

Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim — знак предела), а lim [1/(n•sin (180°/n))]= lim [1/(n•sin (π/n))] при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:

Читайте также:  Газ нагревают от температуры 37 до 127

Единицы измерения

Применяются системные и внесистемные единицы измерения. Системные единицы относятся к СИ (Система Интернациональная). Это квадратный метр (кв. метр, м²) и единицы, производные от него: мм², см², км².

В квадратных миллиметрах (мм²), например, измеряют площадь сечения проводов в электротехнике, в квадратных сантиметрах (см²) — сечения балки в строительной механике, в квадратных метрах (м²) — квартиры или дома, в квадратных километрах (км²) — территории в географии.

Однако иногда используются и внесистемные единицы измерения, такие, как: сотка, ар (а), гектар (га) и акр (ас). Приведём следующие соотношения:

  • 1 сотка=1 а=100 м²=0,01 га;
  • 1 га=100 а=100 соток=10000 м²=0,01 км²=2,471 ас;
  • 1 ас= 4046.856 м²=40,47 а=40,47 соток=0,405 га.

В жизни каждого человека по достижении 7-летнего возраста появляется необходимость обучаться в средней общеобразовательной школе. В этом заведении ученик получает базовые знания и навыки. В рамках учебной программы по математике школьники узнают, как обозначается площадь. Необходимо рассмотреть, какой буквой и единицей измерения необходимо это делать.

Общие сведения

Изучение того, как и какой буквой обозначается общая площадь, необходимо начать с определения данного понятия в математике.

Под площадью понимается характеристика, имеющая числовое выражение. Ею описывается геометрическая фигура в двухмерном пространстве.

Объект, по отношению к которому возникает вопрос, как обозначить в письменном выражении площадь, может быть плоским или искривленным.Обозначение площади дает представление о размере и параметрах изучаемой площади.

В отдельных литературных источниках общая площадь встречается под названием квадратуры. Фигура, для которой возможно обозначить площадь, имеет наименование квадрируемой. Геометрические объекты, для которых значение площади в полученном решении оказалось одинаковым, встречаются под названием равновеликих.

Возможность определения площади и обозначения ее буквой появилась благодаря интегральному исчислению в математике. Общее представление о данном понятии было получено в результате формулирования теории меры множества. Постулаты, составляющие данную теорию, являются правдивыми для большинства объектов, изучаемых в геометрии.

Возможность практического измерения данной величины отмечается в результате использования планиметра и специальной палетки.

Площадь, обозначение которой становится доступным в результате ее числового выражения, характеризуется следующими параметрами:

  1. Положительная. В числе ее характеристик отсутствует понятие отрицательного значения.
  2. Аддитивная. Данный показатель относительно любого геометрического объекта определяется как суммированное значение объектов, образующих изучаемую фигуру при отсутствии внутренних ограничений.
  3. Инвариантная. Позволяет приравнивать площади фигур, которые в движении переходят друг в друга и полностью совпадают.
  4. Нормированная. Соответствует правилу, согласно которому 1 составляет площадь единичного квадрата.
  5. Монотонная. Параметр площади отдельной части геометрического объекта не превышает общую площадь всей изучаемой фигуры.

Знак площади, используемый в математике, появился в результате присвоения данного параметра для многоугольных геометрических объектов. Впоследствии перечень фигур, в отношении к площади которых использовалось обозначение буквой, увеличился на группу квадрируемых объектов.

Обратите внимание, к категории квадрируемой относится объект, поддающийся вписыванию в пределы многоугольника. Также достоверной является способность заключить многоугольник в данный квадрируемый объект.

Познавательно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Общее понимание категории позволяет ее трактовать в качестве числовой характеристики. При этом этот признак используется по отношению только к поверхности двухмерной, находящейся в пространстве трехмерном.

Для данного показателя присуща система измерения. Основными единицами, дающими представление о величине геометрического объекта, являются сантиметры, миллиметры, дециметры, метры, километры. В ряде источников встречается упоминание проведенных измерений в арах, гектарах. Отличительная особенность, свойственная для рассматриваемого показателя, — возведение единиц измерения в квадрат.

Важно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Варианты обозначения

Понятие используется не только в математике. Оно актуально и для физики.

В связи с разносторонностью применения возникает вопрос, какой буквой обозначается площадь.

В зависимости от дисциплины, в рамках которой применяется изучаемое понятие, становится очевидным ответ, какой буквой алфавита обозначают данную величину.

В таких науках, как физика и математика, используется знак латинского алфавита S. Данная буква имеет произношение <эс>.

Обратите внимание! Знаком S обозначают площадь таких фигур, как квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник, круг.

Среди вопросов, занимающих умы студентов высших учебных заведений, присутствует тема: как обозначить данную величину нескольких геометрических объектов. В данном случае в письменном варианте применяются нижние индексы. Среди значений, используемых в индексной системе обозначений, присутствуют числа.

Читайте также:  Задача no 294 максимум из трех

Примером выступает обозначение S1, S2, S3. Также считается допустимым применение сокращенных наименований геометрических объектов, по отношению к которым производится числовое измерение. Так, при изучении треугольников для сокращенного названия используются наименования вершин, обозначенные латинскими буквами. В качестве примера могут быть SAOB, SCLE, SOME.

Интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Актуальным для учащихся является вопрос, как пишется в физике площадь. Следует отметить, что данным понятием характеризуется поперечное сечение. Считается допустимым использовать для уточненного обозначения нижний индекс. Сохраняется возможность написания простых чисел в индексной системе.

Вопрос, как пишется в строительной механике и сопромате данная величина, заставляет задуматься студентов. В данных дисциплинах под буквой латинского алфавита S подразумевается обозначение статического момента. Так выражается площадь по отношению к рассматриваемой оси. В качестве символа, обозначающего данный показатель, используется буква латинского алфавита A или F.

Полезное видео

Подведем итоги

Пространственное представление об изучаемом геометрическом объекте становится возможным благодаря площади. Обозначение данного показателя разнится в зависимости от выбранной дисциплины.

Более подробную информацию по математическим нюансам можно посмотреть тут.

Построение чертежей — дело непростое, но без него в современном мире никак. Ведь чтобы изготовить даже самый обычный предмет (крошечный болт или гайку, полку для книг, дизайн нового платья и подобное), изначально нужно провести соответствующие вычисления и нарисовать чертеж будущего изделия. Однако часто составляет его один человек, а занимается изготовлением чего-либо по этой схеме другой.

Чтобы не возникло путаницы в понимании изображенного предмета и его параметров, во всем мире приняты условные обозначения длины, ширины, высоты и других величин, применяемых при проектировании. Каковы они? Давайте узнаем.

Величины

Площадь, длина, ширина, высота и другие обозначения подобного характера являются не только физическими, но и математическими величинами.

Единое их буквенное обозначение (используемое всеми странами) было уставлено в середине ХХ века Международной системой единиц (СИ) и применяется по сей день. Именно по этой причине все подобные параметры обозначаются латинскими, а не кириллическими буквами или арабской вязью. Чтобы не создавать отдельных трудностей, при разработке стандартов конструкторской документации в большинстве современных стран решено было использовать практически те же условные обозначения, что применяются в физике или геометрии.

Любой выпускник школы помнит, что в зависимости от того, двухмерная или трехмерная фигура (изделие) изображена на чертеже, она обладает набором основных параметров. Если присутствуют два измерения — это ширина и длина, если их три — добавляется еще и высота.

Итак, для начала давайте выясним, как правильно длину, ширину, высоту обозначать на чертежах.

Ширина

Как было сказано выше, в математике рассматриваемая величина является одним из трех пространственных измерений любого объекта, при условии что его замеры производятся в поперечном направлении. Так чем знаменита ширина? Обозначение буквой «В» она имеет. Об этом известно во всём мире. Причем, согласно ГОСТу, допустимо применение как заглавной, так и строчной латинских литер. Часто возникает вопрос о том, почему именно такая буква выбрана. Ведь обычно сокращение производится по первой букве латинского, греческого или английского названия величины. При этом ширина на английском будет выглядеть как «width».

Вероятно, здесь дело в том, что данный параметр наиболее широкое применение изначально имел в геометрии. В этой науке, описывая фигуры, часто длину, ширину, высоту обозначают буквами «а», «b», «с». Согласно этой традиции, при выборе литера «В» (или «b») была заимствована системой СИ (хотя для других двух измерений стали применять отличные от геометрических символы).

Большинство полагает, что это было сделано, дабы не путать ширину (обозначение буквой «B»/«b») с весом. Дело в том, что последний иногда именуется как «W» (сокращение от английского названия weight), хотя допустимо использование и других литер («G» и «Р»). Согласно международным нормам системы СИ, измеряется ширина в метрах или кратных (дольных) их единицах. Стоит отметить, что в геометрии иногда также допустимо использовать «w» для обозначения ширины, однако в физике и остальных точных науках такое обозначение, как правило, не применяется.

Длина

Как уже было указано, в математике длина, высота, ширина — это три пространственных измерения. При этом, если ширина является линейным размером в поперечном направлении, то длина — в продольном. Рассматривая ее как величину физики можно понять, что под этим словом подразумевается численная характеристика протяжности линий.

В английском языке этот термин именуется length. Именно из-за этого данная величина обозначается заглавной или строчной начальной литерой этого слова — «L». Как и ширина, длина измеряется в метрах или их кратных (дольных) единицах.

Читайте также:  Дисплей refurbished что это

Высота

Наличие этой величины указывает на то, что приходится иметь дело с более сложным — трехмерным пространством. В отличие от длины и ширины, высота численно характеризует размер объекта в вертикальном направлении.

На английском она пишется как «height». Поэтому, согласно международным нормам, ее обозначают латинской литерой «Н»/«h». Помимо высоты, в чертежах иногда эта буква выступает и как глубины обозначение. Высота, ширина и длина — все все эти параметры измеряются в метрах и их кратных и дольных единицах (километры, сантиметры, миллиметры и т. п.).

Радиус и диаметр

Помимо рассмотренных параметров, при составлении чертежей приходится иметь дело и с иными.

Например, при работе с окружностями возникает необходимость в определении их радиуса. Так именуется отрезок, который соединяет две точки. Первая из них является центром. Вторая находится непосредственно на самой окружности. На латыни это слово выглядит как «radius». Отсюда и общепринятое сокращение: строчная или заглавная «R»/«r».

Чертя окружности, помимо радиуса часто приходится сталкиваться с близким к нему явлением — диаметром. Он также является отрезком, соединяющим две точки на окружности. При этом он обязательно проходит через центр.

Численно диаметр равен двум радиусам. По-английски это слово пишется так: «diameter». Отсюда и сокращение — большая или маленькая латинская буква «D»/«d». Часто диаметр на чертежах обозначают при помощи перечеркнутого круга — «Ø».

Хотя это распространенное сокращение, стоит иметь в виду, что ГОСТ предусматривает использование только латинской «D»/«d».

Толщина

Большинство из нас помнят школьные уроки математики. Ещё тогда учителя рассказывали, что, латинской литерой «s» принято обозначать такую величину, как площадь. Однако, согласно общепринятым нормам, на чертежах таким способом записывается совсем другой параметр — толщина.

Почему так? Известно, что в случае с высотой, шириной, длиной, обозначение буквами можно было объяснить их написанием или традицией. Вот только толщина по-английски выглядит как «thickness», а в латинском варианте — «crassities». Также непонятно, почему, в отличие от других величин, толщину можно обозначать только строчной литерой. Обозначение «s» также применяется при описании толщины страниц, стенок, ребер и так далее.

Периметр и площадь

В отличие от всех перечисленных выше величин, слово «периметр» пришло не из латыни или английского, а из греческого языка. Оно образовано от «περιμετρέο» («измерять окружность»). И сегодня этот термин сохранил свое значение (общая длина границ фигуры). Впоследствии слово попало в английский язык («perimeter») и закрепилось в системе СИ в виде сокращения буквой «Р».

Площадь — это величина, показывающая количественную характеристику геометрической фигуры, обладающей двумя измерениями (длиной и шириной). В отличие от всего перечисленного ранее, она измеряется в квадратных метрах (а также в дольных и кратных их единицах). Что касается буквенного обозначения площади, то в разных сферах оно отличается. Например, в математике это знакомая всем с детства латинская литера «S». Почему так — нет информации.

Другие распространенные сокращения

Обозначения высоты, ширины, длины, толщины, радиуса, диаметра являются наиболее употребляемыми при составлении чертежей. Однако есть и другие величины, которые тоже часто присутствуют в них. Например, строчное «t». В физике это означает «температуру», однако согласно ГОСТу Единой системы конструкторской документации, данная литера — это шаг (винтовых пружин, заклепочных соединений и подобного). При этом она не используется, когда речь идет о зубчатых зацеплениях и резьбе.

Заглавная и строчная буква «A»/«a» (согласно все тем же нормам) в чертежах применяется, чтобы обозначать не площадь, а межцентровое и межосевое расстояние. Помимо различных величин, в чертежах часто приходится обозначать углы разного размера. Для этого принято использовать строчные литеры греческого алфавита. Наиболее применяемые — «α», «β», «γ» и «δ». Однако допустимо использовать и другие.

Какой стандарт определяет буквенное обозначение длины, ширины, высоты, площади и других величин?

Как уже было сказано выше, чтобы не было недопонимания при прочтении чертежа, представителями разных народов приняты общие стандарты буквенного обозначения. Иными словами, если вы сомневаетесь в интерпретации того или иного сокращения, загляните в ГОСТы. Таким образом вы узнаете, как правильно обозначается высота, ширины, длина, диаметр, радиус и так далее.

Для Российской Федерации таким нормативным документом является ГОСТ 2.321−84. Он был внедрен еще в марте 1984 г. (во времена СССР), взамен устаревшего ГОСТа 3452—59.

Оцените статью
Adblock detector